Номер 52, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

52. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 4 см и 10 см. Найдите полную поверхность призмы, учитывая, что её боковое ребро равно 16 см.

Полная поверхность призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

где $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ – площадь основания. Площадь боковой поверхности прямой призмы, в свою очередь, равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$ (которая равна боковому ребру):$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Таким образом, для решения задачи нам необходимо найти периметр и площадь треугольника, лежащего в основании призмы.

1. Нахождение параметров основания (прямоугольного треугольника).

Пусть катеты прямоугольного треугольника в основании равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

По условию $R = 10$ см, значит, мы можем найти гипотенузу $c$:

$c = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r$ находится по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

По условию $r = 4$ см. Подставим известные значения $r$ и $c$, чтобы найти сумму катетов $a+b$:

$4 = \frac{a + b - 20}{2}$

$8 = a + b - 20$

$a + b = 28$ см.

2. Расчет периметра и площади основания.

Периметр основания $P_{осн}$ – это сумма длин всех его сторон:

$P_{осн} = a + b + c = 28 + 20 = 48$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ для прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$. Найдем произведение $ab$ из соотношения $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. По теореме Пифагора $a^2+b^2=c^2$.

$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$

$28^2 = 20^2 + 2ab$

$784 = 400 + 2ab$

$2ab = 784 - 400 = 384$

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{384}{2} = \frac{384}{4} = 96$ см$^2$.

Альтернативно, площадь основания можно найти по формуле $S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ - полупериметр.$p = \frac{P_{осн}}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.$S_{осн} = 24 \cdot 4 = 96$ см$^2$. Результаты совпадают.

3. Расчет полной поверхности призмы.

Высота призмы $h$ равна ее боковому ребру, по условию $h = 16$ см. Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 48 \cdot 16 = 768$ см$^2$.

Теперь найдем полную поверхность призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 768 + 2 \cdot 96 = 768 + 192 = 960$ см$^2$.

Ответ: 960 см$^2$.