Номер 46, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

46. Точки $A$ и $B$ — внутренние точки рёбер $KM$ и $KQ$ призмы $KMOQK_1M_1O_1Q_1$. Постройте:

a) точку, в которой прямая $AB$ пересекает плоскость $M_1MO$;

б) прямую, по которой плоскость $ABO_1$ пересекает плоскость $MOO_1$.

а) Для построения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(M_1MO)$, выполним следующие рассуждения и построения:

1. Точки $A$ и $B$ являются внутренними точками рёбер $KM$ и $KQ$ соответственно. Оба ребра $KM$ и $KQ$ лежат в плоскости нижнего основания призмы $(KMOQ)$. Следовательно, прямая $AB$, проходящая через эти точки, также целиком лежит в плоскости основания $(KMOQ)$.

2. Плоскость $(M_1MO)$ определяется тремя вершинами призмы $M, O, M_1$. Поскольку $MM_1$ и $OO_1$ — боковые рёбра призмы, они параллельны, и, следовательно, точки $M, M_1, O_1, O$ лежат в одной плоскости. Таким образом, плоскость $(M_1MO)$ — это плоскость боковой грани $(MM_1O_1O)$.

3. Искомая точка пересечения прямой $AB$ и плоскости $(M_1MO)$ должна принадлежать обеим этим сущностям. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $(KMOQ)$, то искомая точка также должна лежать в этой плоскости. Это означает, что она должна находиться на линии пересечения плоскостей $(KMOQ)$ и $(M_1MO)$.

4. Линией пересечения плоскости основания $(KMOQ)$ и плоскости боковой грани $(M_1MO)$ является прямая $MO$, так как точки $M$ и $O$ являются общими для обеих плоскостей.

5. Из этого следует, что искомая точка является точкой пересечения прямых $AB$ и $MO$. Поскольку обе прямые лежат в одной плоскости $(KMOQ)$, они пересекаются в одной точке (при условии, что они не параллельны, что предполагается в общем случае).

Построение: В плоскости основания призмы $(KMOQ)$ проводим прямые через отрезки $AB$ и $MO$. Точка их пересечения, которую мы обозначим $P$, и будет искомой точкой.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямых $AB$ и $MO$ ($P = AB \cap MO$).

б) Для построения прямой, по которой плоскость $(ABO_1)$ пересекает плоскость $(MOO_1)$, необходимо найти две различные точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

1. Поиск первой общей точки. Точка $O_1$ по определению принадлежит плоскости $(ABO_1)$. Плоскость $(MOO_1)$ — это плоскость боковой грани $(MM_1O_1O)$, которая, очевидно, содержит вершину $O_1$. Таким образом, $O_1$ — первая общая точка двух плоскостей.

2. Поиск второй общей точки. Рассмотрим точку $P$, построенную в пункте а), как точку пересечения прямых $AB$ и $MO$.
- Поскольку точка $P$ лежит на прямой $AB$, а прямая $AB$ целиком содержится в плоскости $(ABO_1)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(ABO_1)$.
- Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MO$, а прямая $MO$ целиком содержится в плоскости $(MOO_1)$ (так как это плоскость грани $MM_1O_1O$), то точка $P$ принадлежит плоскости $(MOO_1)$.
Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой двух плоскостей.

3. Построение прямой. Так как мы нашли две общие точки $P$ и $O_1$ для плоскостей $(ABO_1)$ и $(MOO_1)$, то прямая, проходящая через них, является линией их пересечения.

Построение: Сначала, как в пункте а), находим точку $P$ — пересечение прямых $AB$ и $MO$. Затем проводим прямую через точки $P$ и $O_1$. Эта прямая $PO_1$ и есть искомая линия пересечения.

Ответ: Искомая прямая пересечения — это прямая $PO_1$, где $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $MO$.