Номер 39, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

39. Используя рисунок 92, на котором точки $B$ и $C$ принадлежат рёбрам $PK$ и $PT$ треугольной пирамиды $KPTU$, а точка $A$ лежит на прямой, проходящей через ребро $KU$:

a) назовите прямые, которым принадлежит точка $U$;

б) докажите, что прямая $AB$ лежит в плоскости $KPU$;

в) установите, каким граням пирамиды принадлежит прямая $BC$;

г) установите, каким граням пирамиды принадлежит прямая $KT$;

д) назовите плоскость, которой принадлежит точка $A$;

е) назовите прямые, через которые проходит плоскость $KPT$.

Риc. 92

а) Точка $U$ является вершиной пирамиды $KPTU$. Вершина — это общая точка нескольких рёбер. В данном случае точка $U$ является концом рёбер $KU$, $TU$ и $PU$. Каждое ребро лежит на соответствующей прямой. Следовательно, точка $U$ принадлежит трём прямым: $KU$, $TU$ и $PU$.
Ответ: Точка $U$ принадлежит прямым $KU$, $TU$ и $PU$.

б) Для того чтобы доказать, что прямая лежит в плоскости, необходимо показать, что две различные точки этой прямой принадлежат данной плоскости (согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости).
1. По условию, точка $B$ принадлежит ребру $PK$. Ребро $PK$ является стороной грани $KPU$, следовательно, ребро $PK$ целиком лежит в плоскости $KPU$. Это означает, что и точка $B$ лежит в плоскости $KPU$.
2. По условию, точка $A$ лежит на прямой, проходящей через ребро $KU$. Ребро $KU$ является стороной грани $KPU$, следовательно, ребро $KU$ целиком лежит в плоскости $KPU$. Это означает, что и точка $A$, лежащая на прямой $KU$, также лежит в плоскости $KPU$.
3. Поскольку две точки прямой $AB$ (точки $A$ и $B$) лежат в плоскости $KPU$, то и вся прямая $AB$ лежит в этой плоскости, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как две точки прямой $AB$ (точки $A$ и $B$) принадлежат плоскости $KPU$.

в) Чтобы прямая принадлежала грани (плоскости), необходимо, чтобы как минимум две её точки лежали в этой плоскости.
Точка $B$ лежит на ребре $PK$. Ребро $PK$ является общим для граней $KPU$ и $KPT$.
Точка $C$ лежит на ребре $PT$. Ребро $PT$ является общим для граней $PTU$ и $KPT$.
Единственная грань, которой одновременно принадлежат и точка $B$, и точка $C$, — это грань $KPT$. Следовательно, прямая $BC$, проходящая через эти точки, целиком лежит в плоскости грани $KPT$.
Ответ: Прямая $BC$ принадлежит грани $KPT$.

г) Прямая $KT$ содержит ребро $KT$ пирамиды. Ребро является линией пересечения двух смежных граней.
1. Ребро $KT$ является стороной треугольника основания $KTU$. Следовательно, прямая $KT$ лежит в плоскости основания $(KTU)$.
2. Ребро $KT$ также является стороной боковой грани $KPT$. Следовательно, прямая $KT$ лежит в плоскости боковой грани $(KPT)$.
Таким образом, прямая $KT$ принадлежит двум граням.
Ответ: Прямая $KT$ принадлежит граням $KPT$ и $KTU$.

д) По условию, точка $A$ лежит на прямой, проходящей через ребро $KU$.
Ребро $KU$ является линией пересечения двух плоскостей: плоскости боковой грани $KPU$ и плоскости основания $KTU$.
Если прямая является линией пересечения двух плоскостей, то она принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, любая точка на этой прямой (включая точку $A$) принадлежит обеим плоскостям.
Ответ: Точка $A$ принадлежит плоскостям граней $KPU$ и $KTU$.

е) Плоскость $KPT$ является одной из граней пирамиды. Эта плоскость однозначно задаётся тремя точками $K$, $P$ и $T$.
Прямые, проходящие через пары этих точек, лежат в данной плоскости. Это рёбра грани $KPT$: прямые $PK$, $PT$ и $KT$.
Кроме того, как было установлено в пункте (в), прямая $BC$ также лежит в плоскости $KPT$, так как точки $B$ (на $PK$) и $C$ (на $PT$) лежат в этой плоскости.
Ответ: Плоскость $KPT$ проходит через прямые, образующие её рёбра: $PK$, $PT$, $KT$, а также через прямую $BC$.