Номер 45, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

45. На отрезке $MN$ как на стороне в разных пло-скостях построены два четырёхугольника $MNAB$ и $MNCD$, на отрезках $NA$ и $NC$ выбраны внутренние точки $R$ и $S$ соответственно (рис. 97). Сделайте такой рисунок в тетради и:

Рис. 97

а) постройте точку, в которой прямая $MR$ пересекает плоскость $ABC$;

б) постройте точку пересечения прямой $CD$ с плоскостью $ARS$;

в) докажите, что прямая $RS$ принадлежит плоскости $CAN$.

а) постройте точку, в которой прямая MR пересекает плоскость ABC;

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости воспользуемся следующим методом: найдем линию пересечения плоскости, в которой лежит данная прямая, с данной плоскостью. Искомая точка будет лежать на пересечении данной прямой и найденной линии.

1. Прямая $MR$ лежит в плоскости четырехугольника $MNAB$, поскольку точки $M$ и $R$ принадлежат этой плоскости (точка $M$ по определению, а точка $R$ лежит на отрезке $NA$, который также находится в этой плоскости). Обозначим эту плоскость $(MNA)$.
2. Плоскость, с которой ищется пересечение, — это плоскость $(ABC)$, заданная точками $A$, $B$ и $C$.
3. Найдем линию пересечения плоскостей $(MNA)$ и $(ABC)$. Для этого найдем две их общие точки.
   • Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям: она является вершиной четырехугольника $MNAB$ (значит, $A \in (MNA)$) и одной из точек, определяющих плоскость $(ABC)$ (значит, $A \in (ABC)$).
   • Точка $B$ также принадлежит обеим плоскостям: она является вершиной четырехугольника $MNAB$ (значит, $B \in (MNA)$) и одной из точек, определяющих плоскость $(ABC)$ (значит, $B \in (ABC)$).
   Следовательно, линия пересечения плоскостей $(MNA)$ и $(ABC)$ — это прямая $AB$.
4. Искомая точка пересечения прямой $MR$ с плоскостью $(ABC)$ есть точка пересечения прямой $MR$ с прямой $AB$. Прямые $MR$ и $AB$ лежат в одной плоскости $(MNA)$, поэтому они пересекаются в одной точке (если не параллельны, что предполагается в общем случае).
5. Построим эту точку. В плоскости $(MNA)$ проведем прямые через отрезки $MR$ и $AB$ до их пересечения. Обозначим точку их пересечения $P$.

Точка $P$ является искомой, так как $P \in MR$ по построению, и $P \in AB$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и точка $P$ лежит в плоскости $(ABC)$. Таким образом, $P = MR \cap (ABC)$.

Ответ: Для построения искомой точки необходимо в плоскости $(MNA)$ продлить отрезки $MR$ и $AB$ до их пересечения. Полученная точка пересечения и будет являться точкой пересечения прямой $MR$ с плоскостью $(ABC)$.

б) постройте точку пересечения прямой CD с плоскостью ARS;

Воспользуемся тем же методом, что и в пункте а).

1. Прямая $CD$ лежит в плоскости четырехугольника $MNCD$, так как точки $C$ и $D$ являются его вершинами. Обозначим эту плоскость $(MNC)$.
2. Плоскость, с которой ищется пересечение, — это плоскость $(ARS)$, заданная точками $A$, $R$ и $S$.
3. Найдем линию пересечения плоскостей $(MNC)$ и $(ARS)$.
   • Точка $S$ принадлежит обеим плоскостям. Она лежит в плоскости $(ARS)$ по определению. Так как $S$ лежит на отрезке $NC$, а отрезок $NC$ лежит в плоскости $(MNC)$, то точка $S$ также принадлежит плоскости $(MNC)$.
   • Для нахождения второй общей точки найдем точку пересечения прямой $AR$ (которая лежит в плоскости $(ARS)$) с плоскостью $(MNC)$. Эта точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскости, содержащей прямую $AR$ (это плоскость $(MNA)$), и плоскости $(MNC)$. Линия пересечения плоскостей $(MNA)$ и $(MNC)$ — это прямая $MN$.
   • В плоскости $(MNA)$ построим точку пересечения прямых $AR$ и $MN$. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, $K = AR \cap MN$.
   • Точка $K$ лежит на прямой $AR$, следовательно, $K \in (ARS)$. Точка $K$ лежит на прямой $MN$, следовательно, $K \in (MNC)$. Значит, $K$ — вторая общая точка плоскостей $(ARS)$ и $(MNC)$.
   Линия пересечения плоскостей $(ARS)$ и $(MNC)$ — это прямая $KS$.
4. Искомая точка пересечения прямой $CD$ с плоскостью $(ARS)$ есть точка пересечения прямой $CD$ с прямой $KS$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(MNC)$, поэтому они пересекаются в одной точке.
5. Построим эту точку. В плоскости $(MNC)$ проведем прямые через отрезки $CD$ и $KS$ до их пересечения. Обозначим точку их пересечения $Q$.

Точка $Q$ является искомой, так как $Q \in CD$ по построению, и $Q \in KS$. Поскольку прямая $KS$ лежит в плоскости $(ARS)$, то и точка $Q$ лежит в плоскости $(ARS)$. Таким образом, $Q = CD \cap (ARS)$.

Ответ: Для построения искомой точки необходимо: 1) построить точку $K$ как пересечение прямых $AR$ и $MN$; 2) провести прямую $KS$; 3) построить точку $Q$ как пересечение прямых $CD$ и $KS$. Точка $Q$ является искомой.

в) докажите, что прямая RS принадлежит плоскости CAN.

Для того чтобы доказать, что прямая принадлежит плоскости, достаточно доказать, что две различные точки этой прямой лежат в данной плоскости.

1. Рассмотрим прямую $RS$ и плоскость $(CAN)$. Плоскость $(CAN)$ определена тремя точками $C$, $A$ и $N$.
2. Рассмотрим точку $R$. По условию задачи, точка $R$ является внутренней точкой отрезка $NA$. Прямая $NA$ проходит через точки $N$ и $A$. Поскольку точки $N$ и $A$ определяют плоскость $(CAN)$, вся прямая $NA$ лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $R$, принадлежащая прямой $NA$, также лежит в плоскости $(CAN)$.
3. Рассмотрим точку $S$. По условию, точка $S$ является внутренней точкой отрезка $NC$. Прямая $NC$ проходит через точки $N$ и $C$. Поскольку точки $N$ и $C$ определяют плоскость $(CAN)$, вся прямая $NC$ лежит в этой плоскости. Следовательно, точка $S$, принадлежащая прямой $NC$, также лежит в плоскости $(CAN)$.
4. Мы показали, что две различные точки $R$ и $S$ прямой $RS$ принадлежат плоскости $(CAN)$. Согласно аксиоме стереометрии (если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости), прямая $RS$ принадлежит плоскости $(CAN)$.

Ответ: Точка $R$ лежит на отрезке $NA$, следовательно, $R$ принадлежит плоскости $(CAN)$, проходящей через точки $C, A, N$. Точка $S$ лежит на отрезке $NC$, следовательно, $S$ также принадлежит плоскости $(CAN)$. Так как две точки прямой $RS$ лежат в плоскости $(CAN)$, то вся прямая $RS$ принадлежит этой плоскости.