Номер 51, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

51. Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна $12 \, \text{см}^2$. Найдите диагональ боковой грани, учитывая, что диагональ основания равна $\sqrt{2}$ см.

Пусть a — сторона квадратного основания прямоугольного параллелепипеда, а h — его высота.

Сначала найдем сторону основания. Диагональ квадрата d_осн связана с его стороной a по теореме Пифагора: $d_{осн}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, следовательно, $d_{осн} = a\sqrt{2}$. По условию задачи, диагональ основания равна $\sqrt{2}$ см. Составим уравнение: $a\sqrt{2} = \sqrt{2}$. Отсюда находим, что сторона основания $a = 1$ см.

Теперь найдем высоту параллелепипеда. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$. Периметр квадратного основания равен $P_{осн} = 4a$. Таким образом, формула для площади боковой поверхности: $S_{бок} = 4ah$. По условию, $S_{бок} = 12$ см². Подставив известное значение $a = 1$ см, получаем: $12 = 4 \cdot 1 \cdot h$ $12 = 4h$ Отсюда высота параллелепипеда $h = \frac{12}{4} = 3$ см.

Наконец, найдем диагональ боковой грани d_бок. Боковая грань является прямоугольником со сторонами, равными стороне основания a и высоте h. Используя теорему Пифагора для прямоугольника со сторонами $a = 1$ см и $h = 3$ см, находим его диагональ: $d_{бок}^2 = a^2 + h^2$ $d_{бок}^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$ $d_{бок} = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.