Номер 50, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

50. Точки $A$ и $B$ лежат в гранях $PQS$ и $PRS$ треугольной пирамиды $PQRS$ (рис. 98). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку, в которой прямая $AB$ пересекает:

а) плоскость $QRS$;

б) плоскость $PQR$.

Рис. 98

а) Построение точки пересечения прямой AB с плоскостью QRS

Для нахождения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(QRS)$ воспользуемся методом вспомогательных сечений. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через вершину $P$ и прямую $AB$. Построение выполняется в несколько шагов.
1. Проведем прямую через вершину $P$ и точку $A$. Поскольку точка $A$ лежит в грани $(PQS)$, вся прямая $PA$ также лежит в плоскости $(PQS)$. Найдем точку пересечения прямой $PA$ с ребром $QS$. Обозначим эту точку $A_1$. Таким образом, $A_1 = PA \cap QS$. Так как точка $A_1$ лежит на прямой $QS$, она принадлежит и плоскости основания $(QRS)$.
2. Аналогично, проведем прямую через вершину $P$ и точку $B$. Поскольку точка $B$ лежит в грани $(PRS)$, вся прямая $PB$ лежит в плоскости $(PRS)$. Найдем точку пересечения прямой $PB$ с ребром $RS$. Обозначим эту точку $B_1$. Таким образом, $B_1 = PB \cap RS$. Точка $B_1$ также принадлежит плоскости $(QRS)$.
3. Так как точки $A_1$ и $B_1$ принадлежат плоскости $(QRS)$, то и вся прямая $A_1B_1$ лежит в этой плоскости.
4. Прямые $AB$ и $A_1B_1$ лежат в одной плоскости $(PA_1B_1)$, так как точка $A$ лежит на прямой $PA_1$, а точка $B$ — на прямой $PB_1$. Следовательно, они пересекаются в некоторой точке (если не параллельны). Обозначим эту точку $X$.
5. Точка $X = AB \cap A_1B_1$ является искомой, поскольку она принадлежит прямой $AB$ и, в то же время, принадлежит плоскости $(QRS)$, так как лежит на прямой $A_1B_1$.

Ответ: Точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(QRS)$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $A_1B_1$, где $A_1 = PA \cap QS$ и $B_1 = PB \cap RS$.

б) Построение точки пересечения прямой AB с плоскостью PQR

Для нахождения точки пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(PQR)$ используем аналогичный метод, но в качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через вершину $S$ и прямую $AB$.
1. Проведем прямую через вершину $S$ и точку $A$. Поскольку точка $A$ лежит в грани $(PQS)$, прямая $SA$ лежит в плоскости $(PQS)$. Найдем ее точку пересечения с прямой $PQ$, которая является линией пересечения плоскостей $(PQS)$ и $(PQR)$. Обозначим эту точку $A_2$. Таким образом, $A_2 = SA \cap PQ$. Точка $A_2$ принадлежит плоскости $(PQR)$.
2. Проведем прямую через вершину $S$ и точку $B$. Поскольку точка $B$ лежит в грани $(PRS)$, прямая $SB$ лежит в плоскости $(PRS)$. Найдем ее точку пересечения с прямой $PR$, которая является линией пересечения плоскостей $(PRS)$ и $(PQR)$. Обозначим эту точку $B_2$. Таким образом, $B_2 = SB \cap PR$. Точка $B_2$ также принадлежит плоскости $(PQR)$.
3. Так как точки $A_2$ и $B_2$ принадлежат плоскости $(PQR)$, то и вся прямая $A_2B_2$ лежит в этой плоскости.
4. Прямые $AB$ и $A_2B_2$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(SAB)$, так как $A$ лежит на прямой $SA_2$, а $B$ — на прямой $SB_2$. Следовательно, они пересекаются в некоторой точке $Y$.
5. Точка $Y = AB \cap A_2B_2$ является искомой, поскольку она принадлежит прямой $AB$ и плоскости $(PQR)$ (так как лежит на прямой $A_2B_2$).

Ответ: Точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(PQR)$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $A_2B_2$, где $A_2 = SA \cap PQ$ и $B_2 = SB \cap PR$.