Номер 43, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

43. Точки $P$, $Q$ и $R$ принадлежат соответственно рёбрам $SA$, $SC$ и $BC$ пирамиды $SABCD$ (рис. 96). Постройте прямую, по которой плоскость $PQR$ пересекает плоскость:

а) $SBC$;

б) $SAB$;

в) $SBD$;

г) $SDC$.

Рис. 96

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

а) SBC;

Найдём линию пересечения плоскости $(PQR)$ и плоскости грани $(SBC)$.

1. По условию, точка $Q$ принадлежит ребру $SC$. Так как ребро $SC$ лежит в плоскости $(SBC)$, то точка $Q$ также лежит в плоскости $(SBC)$. По определению секущей плоскости, точка $Q$ принадлежит и плоскости $(PQR)$. Следовательно, $Q$ — их общая точка.

2. Аналогично, точка $R$ принадлежит ребру $BC$. Так как ребро $BC$ лежит в плоскости $(SBC)$, то точка $R$ также лежит в плоскости $(SBC)$. По определению, $R$ принадлежит и плоскости $(PQR)$. Следовательно, $R$ — их вторая общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $Q$ и $R$, является линией пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SBC)$.

Ответ: Прямая $QR$.

б) SAB;

Найдём линию пересечения плоскости $(PQR)$ и плоскости грани $(SAB)$.

1. По условию, точка $P$ принадлежит ребру $SA$. Ребро $SA$ лежит в плоскости $(SAB)$, значит, точка $P$ принадлежит плоскости $(SAB)$. Также точка $P$ принадлежит плоскости $(PQR)$. Следовательно, $P$ — их общая точка.

2. Для нахождения второй общей точки воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Прямая $QR$ принадлежит плоскости $(PQR)$. Точки $Q$ и $R$ лежат в плоскости $(SBC)$, поэтому вся прямая $QR$ лежит в плоскости $(SBC)$. Плоскости $(SAB)$ и $(SBC)$ имеют общую прямую — ребро $SB$. Точка пересечения прямой $QR$ (из плоскости $(PQR)$) с плоскостью $(SAB)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SBC)$ и $(SAB)$, то есть на прямой $SB$.

3. В плоскости $(SBC)$ найдем точку пересечения прямых $QR$ и $SB$. Обозначим эту точку $T$. Точка $T$ принадлежит прямой $QR$, а значит и плоскости $(PQR)$. Точка $T$ принадлежит прямой $SB$, а значит и плоскости $(SAB)$. Таким образом, $T$ — вторая общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $P$ и $T$, является линией пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SAB)$.

Ответ: Прямая $PT$, где $T = QR \cap SB$.

в) SBD;

Найдём линию пересечения плоскости $(PQR)$ и плоскости $(SBD)$.

1. Из решения пункта (б) мы знаем, что точка $T$ является точкой пересечения прямых $QR$ и $SB$. Так как $T \in SB$, а ребро $SB \subset (SBD)$, то точка $T \in (SBD)$. Так как $T \in QR$, а прямая $QR \subset (PQR)$, то точка $T \in (PQR)$. Следовательно, $T$ — первая общая точка.

2. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямую $PQ$, которая лежит в плоскости $(PQR)$. Точки $P$ и $Q$ лежат на рёбрах $SA$ и $SC$ соответственно, значит, вся прямая $PQ$ лежит в плоскости $(SAC)$. Плоскость $(SBD)$ пересекается с плоскостью $(SAC)$ по прямой $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания. Точка пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $(SBD)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SAC)$ и $(SBD)$, то есть на прямой $SO$.

3. В плоскости $(SAC)$ найдем точку пересечения прямых $PQ$ и $SO$. Обозначим эту точку $M$. Точка $M$ принадлежит прямой $PQ$, а значит и плоскости $(PQR)$. Точка $M$ принадлежит прямой $SO$, а значит и плоскости $(SBD)$. Таким образом, $M$ — вторая общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $T$ и $M$, является линией пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SBD)$.

Ответ: Прямая $TM$, где $T$ — точка пересечения прямых $QR$ и $SB$, а $M$ — точка пересечения прямых $PQ$ и $SO$ ($O=AC \cap BD$).

г) SDC;

Найдём линию пересечения плоскости $(PQR)$ и плоскости грани $(SDC)$.

1. По условию, точка $Q$ принадлежит ребру $SC$. Ребро $SC$ лежит в плоскости $(SDC)$, значит, точка $Q$ принадлежит плоскости $(SDC)$. Также точка $Q$ принадлежит плоскости $(PQR)$. Следовательно, $Q$ — их общая точка.

2. Для нахождения второй общей точки используем прямую $TM$, построенную в пункте (в). Прямая $TM$ лежит в плоскости $(PQR)$. Также, поскольку $T \in SB$ и $M \in SO$, вся прямая $TM$ лежит в плоскости $(SBD)$. Плоскости $(SBD)$ и $(SDC)$ имеют общую прямую — ребро $SD$. Точка пересечения прямой $TM$ (из плоскости $(PQR)$) с плоскостью $(SDC)$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $(SBD)$ и $(SDC)$, то есть на прямой $SD$.

3. В плоскости $(SBD)$ найдем точку пересечения прямых $TM$ и $SD$. Обозначим эту точку $K$. Точка $K$ принадлежит прямой $TM$, а значит и плоскости $(PQR)$. Точка $K$ принадлежит прямой $SD$, а значит и плоскости $(SDC)$. Таким образом, $K$ — вторая общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $Q$ и $K$, является линией пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SDC)$.

Ответ: Прямая $QK$, где $K$ — точка пересечения прямой $TM$ (из пункта в) и ребра $SD$.