Номер 41, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

41. На рисунке 94 изображена четырёхугольная призма $CDEF{C}_{1}{D}_{1}{E}_{1}{F}_{1}$, точка $P$ выбрана на луче $D_{1}E_{1}$ за точкой $E_{1}$, а точка $R$ — на ребре $C_{1}F_{1}$. Используя этот рисунок:

Рис. 94

а) докажите, что прямая $PR$ принадлежит плоскости $C_{1}D_{1}F_{1}$;

б) докажите, что прямая $PR$ пересекает прямую $E_{1}F_{1}$;

в) назовите прямую, по которой плоскость $C_{1}D_{1}F_{1}$ пересекает плоскость $DD_{1}E$;

г) назовите прямую, по которой плоскость $C_{1}D_{1}F_{1}$ пересекает плоскость $PRF$;

д) назовите точку, в которой прямая $PR$ пересекает плоскость $DEE_{1}$;

е) назовите точку, в которой прямая $PR$ пересекает плоскость $FF_{1}E_{1}$.

а) докажите, что прямая $PR$ принадлежит плоскости $C_1D_1F_1$;

Чтобы доказать, что прямая принадлежит плоскости, достаточно доказать, что две различные точки этой прямой лежат в данной плоскости.
1. По условию, точка $R$ выбрана на ребре $C_1F_1$. Ребро $C_1F_1$ является частью плоскости верхнего основания $C_1D_1F_1$. Следовательно, точка $R$ принадлежит плоскости $C_1D_1F_1$.
2. По условию, точка $P$ выбрана на луче $D_1E_1$. Прямая $D_1E_1$ содержит ребро $D_1E_1$ верхнего основания, поэтому вся прямая $D_1E_1$ лежит в плоскости $C_1D_1F_1$. Так как точка $P$ принадлежит прямой $D_1E_1$, то и точка $P$ лежит в плоскости $C_1D_1F_1$.
Поскольку две различные точки ($P$ и $R$) прямой $PR$ принадлежат плоскости $C_1D_1F_1$, то, согласно аксиоме стереометрии, вся прямая $PR$ принадлежит этой плоскости.
Ответ: Доказано.

б) докажите, что прямая $PR$ пересекает прямую $E_1F_1$;

Из пункта (а) следует, что прямая $PR$ лежит в плоскости верхнего основания $C_1D_1E_1F_1$. Прямая $E_1F_1$ также лежит в этой плоскости, так как является ребром верхнего основания. Таким образом, прямые $PR$ и $E_1F_1$ копланарны (лежат в одной плоскости).
В плоскости две прямые либо параллельны, либо пересекаются. Предположим, что они параллельны: $PR \parallel E_1F_1$. Это условие накладывает строгие геометрические ограничения на расположение точек. В общем случае, для произвольного четырехугольника $C_1D_1E_1F_1$ и произвольного выбора точек $R$ на $C_1F_1$ и $P$ на луче $D_1E_1$ (согласно условию), это условие параллельности не выполняется. Так как прямые $PR$ и $E_1F_1$ лежат в одной плоскости и не являются параллельными в общем случае, они должны пересекаться.
Ответ: Доказано.

в) назовите прямую, по которой плоскость $C_1D_1F_1$ пересекает плоскость $DD_1E$;

Для нахождения прямой пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.
Плоскость $C_1D_1F_1$ является плоскостью верхнего основания призмы.
Плоскость $DD_1E$ проходит через точки $D, D_1, E$. Так как $CDEFC_1D_1E_1F_1$ — призма, ее боковые ребра параллельны, в частности $DD_1 \parallel EE_1$. Это означает, что точки $D, D_1, E_1, E$ лежат в одной плоскости, образуя боковую грань $DD_1E_1E$.
1. Точка $D_1$ принадлежит плоскости $C_1D_1F_1$ (как вершина основания) и плоскости $DD_1E$ (по определению).
2. Точка $E_1$ принадлежит плоскости $C_1D_1F_1$ (как вершина основания) и плоскости грани $DD_1E_1E$ (а значит, и плоскости $DD_1E$).
Таким образом, общими точками для двух плоскостей являются точки $D_1$ и $E_1$. Прямая, проходящая через эти две точки, и есть линия их пересечения.
Ответ: Прямая $D_1E_1$.

г) назовите прямую, по которой плоскость $C_1D_1F_1$ пересекает плоскость $PRF$;

Найдем общие точки плоскостей $C_1D_1F_1$ и $PRF$.
1. Точка $P$ принадлежит плоскости $PRF$ по определению. Как было показано в пункте (а), точка $P$ также принадлежит плоскости $C_1D_1F_1$.
2. Точка $R$ принадлежит плоскости $PRF$ по определению. Как было показано в пункте (а), точка $R$ также принадлежит плоскости $C_1D_1F_1$.
Поскольку обе точки $P$ и $R$ принадлежат обеим плоскостям, то прямая $PR$ является линией их пересечения.
Ответ: Прямая $PR$.

д) назовите точку, в которой прямая $PR$ пересекает плоскость $DEE_1$;

Точка пересечения прямой и плоскости — это точка, которая принадлежит и прямой, и плоскости.
Прямая $PR$ целиком лежит в плоскости верхнего основания $C_1D_1F_1$ (из пункта а).
Плоскость $DEE_1$, как показано в пункте (в), является плоскостью боковой грани $DD_1E_1E$.
Точка пересечения прямой $PR$ с плоскостью $DD_1E_1E$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $C_1D_1F_1$ и $DD_1E_1E$. Из пункта (в) мы знаем, что это прямая $D_1E_1$.
Следовательно, искомая точка — это точка пересечения прямых $PR$ и $D_1E_1$.
По условию, точка $P$ лежит на прямой $D_1E_1$. Также точка $P$ по определению лежит на прямой $PR$. Значит, $P$ является точкой пересечения этих прямых.
Ответ: Точка $P$.

е) назовите точку, в которой прямая $PR$ пересекает плоскость $FF_1E_1$.

Прямая $PR$ лежит в плоскости верхнего основания $C_1D_1F_1$.
Плоскость $FF_1E_1$ — это плоскость боковой грани $FF_1E_1E$.
Точка пересечения прямой $PR$ с плоскостью $FF_1E_1E$ должна лежать на линии пересечения этих двух плоскостей.
Найдем линию пересечения плоскостей $C_1D_1F_1$ и $FF_1E_1E$. Общими точками этих плоскостей являются вершины $E_1$ и $F_1$. Следовательно, линия их пересечения — прямая $E_1F_1$.
Искомая точка является точкой пересечения прямой $PR$ и прямой $E_1F_1$. В пункте (б) было доказано, что эти прямые пересекаются. На рисунке данная точка не имеет буквенного обозначения.
Ответ: Точка пересечения прямой $PR$ и прямой $E_1F_1$.