Номер 35, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

35. Можно ли утверждать, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:

а) проходит через вершину треугольника;

б) пересекает две стороны треугольника;

в) пересекает в различных точках две стороны треугольника;

г) пересекает две прямые, на которых лежат стороны треугольника;

д) пересекает три прямые, на которых лежат стороны треугольника?

а) проходит через вершину треугольника;

Нет, утверждать нельзя. Прямая может проходить через одну точку плоскости (в данном случае, вершину треугольника), но не лежать в этой плоскости. Например, прямая, перпендикулярная плоскости треугольника в одной из его вершин. Для того чтобы прямая принадлежала плоскости, необходимо, чтобы как минимум две ее различные точки принадлежали этой плоскости. В данном случае у нас есть только одна гарантированная общая точка. Ответ: Нет, нельзя.

б) пересекает две стороны треугольника;

Нет, утверждать нельзя. Если прямая пересекает две стороны треугольника, например сторону $AB$ и сторону $AC$, точки пересечения могут совпадать. Это произойдет, если прямая проходит через их общую вершину $A$. В этом случае задача сводится к пункту (а), где прямая имеет лишь одну общую точку с плоскостью треугольника, что недостаточно для однозначного вывода. Ответ: Нет, нельзя.

в) пересекает в различных точках две стороны треугольника;

Да, можно утверждать. Обозначим плоскость треугольника как $\alpha$. Пусть прямая $l$ пересекает две стороны треугольника, например $AB$ и $BC$, в двух различных точках $M$ и $N$ соответственно ($M \neq N$). Так как сторона $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$, принадлежащая этой стороне, также лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$). Аналогично, так как сторона $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $N$, принадлежащая ей, также лежит в плоскости $\alpha$ ($N \in \alpha$). Таким образом, две различные точки $M$ и $N$ прямой $l$ принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$. Ответ: Да, можно.

г) пересекает две прямые, на которых лежат стороны треугольника;

Нет, утверждать нельзя. Прямые, на которых лежат две смежные стороны треугольника (например, стороны $AB$ и $AC$), пересекаются в их общей вершине ($A$). Данная прямая может пересекать обе эти прямые в их единственной общей точке $A$. В этом случае мы снова имеем ситуацию, описанную в пункте (а): прямая проходит через одну точку плоскости. Этого недостаточно, чтобы утверждать, что прямая целиком лежит в плоскости. Ответ: Нет, нельзя.

д) пересекает три прямые, на которых лежат стороны треугольника?

Да, можно утверждать. Обозначим плоскость треугольника как $\alpha$, а прямые, на которых лежат его стороны, как $l_{AB}, l_{BC}$ и $l_{CA}$. Все эти три прямые лежат в плоскости $\alpha$. Пусть данная прямая $m$ пересекает все три эти прямые. Предположим, что прямая $m$ не лежит в плоскости $\alpha$. Тогда возможны два случая:
1. Прямая $m$ параллельна плоскости $\alpha$. В этом случае она не имеет с плоскостью общих точек и, следовательно, не может пересекать прямые $l_{AB}, l_{BC}, l_{CA}$, которые лежат в этой плоскости. Это противоречит условию задачи.
2. Прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной-единственной точке, назовем ее $P$. Поскольку точки пересечения прямой $m$ с прямыми $l_{AB}, l_{BC}, l_{CA}$ должны лежать на этих прямых, они все должны принадлежать плоскости $\alpha$. Но так как эти точки также лежат на прямой $m$, единственной общей точкой которой с плоскостью $\alpha$ является $P$, то все точки пересечения должны совпадать с точкой $P$. Это означало бы, что три прямые $l_{AB}, l_{BC}, l_{CA}$, на которых лежат стороны треугольника, пересекаются в одной точке $P$. Но это невозможно, так как они попарно пересекаются в трех разных вершинах треугольника.
Оба случая приводят к противоречию. Следовательно, исходное предположение неверно, и прямая $m$ должна лежать в плоскости $\alpha$. Ответ: Да, можно.