Номер 31, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

31. Истинно ли утверждение:

а) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две его стороны во внутренних точках;

б) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две его стороны?

Данное утверждение истинно. Рассмотрим доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Пусть прямая $l$ пересекает две стороны этого треугольника, например, $AB$ и $AC$, во внутренних точках $M$ и $N$ соответственно.

По определению, сторона треугольника — это отрезок. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, следовательно, она принадлежит и прямой $AB$. Прямая $AB$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, так как две её точки ($A$ и $B$) лежат в этой плоскости. Таким образом, точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$.

Аналогично, точка $N$ лежит на стороне $AC$, следовательно, она принадлежит и прямой $AC$. Прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $N$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку точки $M$ и $N$ являются внутренними точками разных сторон ($AB$ и $AC$), они не совпадают, то есть являются двумя различными точками. Прямая $l$ проходит через две различные точки ($M$ и $N$), которые обе лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии: если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то есть в плоскости данного треугольника.

Ответ: Истинно.

Данное утверждение ложно.

В этом пункте, в отличие от предыдущего, не уточняется, что точки пересечения должны быть внутренними. Это означает, что прямая может пересекать стороны треугольника в их общей вершине. Это позволяет построить контрпример.

Рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в плоскости $\alpha$. Возьмём прямую $l$, которая проходит через вершину $A$, но не лежит в плоскости $\alpha$. Такая прямая существует; она пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $A$.

Проверим условие задачи. Прямая $l$ пересекает сторону $AB$, так как у них есть общая точка — вершина $A$. По той же причине прямая $l$ пересекает и сторону $AC$ (в той же точке $A$). Таким образом, условие, что прямая пересекает две стороны треугольника, выполнено.

Однако по нашему построению прямая $l$ не лежит в плоскости $\alpha$ данного треугольника. Поскольку мы нашли случай (контрпример), когда условие истинно, а заключение ложно, то общее утверждение является ложным.

Ответ: Ложно.