Номер 30, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

30. Докажите, что если две смежные вершины четырёхугольника и точка пересечения его диагоналей принадлежат некоторой плоскости, то четырёхугольник целиком лежит в этой плоскости.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого, $AC$ и $BD$, пересекаются в точке $O$. Пусть $\alpha$ — некоторая плоскость.

По условию задачи, две смежные вершины и точка пересечения диагоналей принадлежат плоскости $\alpha$. Без ограничения общности, предположим, что это смежные вершины $A$ и $B$. Таким образом, точки $A$, $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то есть $A \in \alpha$, $B \in \alpha$ и $O \in \alpha$.

Требуется доказать, что четырехугольник $ABCD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Для этого достаточно показать, что все его вершины ($A, B, C, D$) принадлежат этой плоскости.

Рассмотрим диагональ $AC$. Вершина $C$ лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $O$. Так как точки $A$ и $O$ по условию принадлежат плоскости $\alpha$, то согласно аксиоме стереометрии (если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости), вся прямая $AC$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$. Поскольку точка $C$ лежит на прямой $AC$, то и точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$).

Аналогично, рассмотрим диагональ $BD$. Вершина $D$ лежит на прямой, проходящей через точки $B$ и $O$. Так как точки $B$ и $O$ по условию принадлежат плоскости $\alpha$, то вся прямая $BD$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Поскольку точка $D$ лежит на прямой $BD$, то и точка $D$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($D \in \alpha$).

Таким образом, мы установили, что все четыре вершины четырехугольника — $A$, $B$, $C$ и $D$ — принадлежат плоскости $\alpha$. Из этого следует, что четырехугольник $ABCD$ целиком лежит в этой плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.