Номер 27, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

27. Точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости. Могут ли:

a) какие-либо три из них лежать на одной прямой;

б) прямые $AB$ и $CD$ пересекаться?

а)

Предположим, что какие-либо три точки из данных четырех, например точки A, B и C, лежат на одной прямой. Назовем эту прямую a.

Четвертая точка D, по условию, не может лежать в той же плоскости, что и A, B, C. Однако, если A, B, C лежат на одной прямой a, то через эту прямую и точку D (которая не лежит на этой прямой, иначе все 4 точки были бы на одной прямой и, следовательно, в одной плоскости) можно провести единственную плоскость. Это следует из аксиомы стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Эта плоскость будет содержать прямую a, а значит, и точки A, B, C, а также точку D. Таким образом, все четыре точки A, B, C, D будут лежать в одной плоскости. Это противоречит исходному условию задачи, что точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и никакие три из данных точек не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Нет, не могут.

б)

Предположим, что прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке O.

Согласно другой аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Таким образом, через пересекающиеся прямые AB и CD можно провести единственную плоскость $\alpha$.

Поскольку прямая AB лежит в плоскости $\alpha$, то и точки A и B принадлежат этой плоскости. Аналогично, поскольку прямая CD лежит в плоскости $\alpha$, то и точки C и D принадлежат этой плоскости.

В результате мы получаем, что все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости $\alpha$. Это снова противоречит условию задачи.

Следовательно, наше предположение о том, что прямые AB и CD могут пересекаться, неверно. В пространстве такие прямые, которые не лежат в одной плоскости (и, следовательно, не пересекаются и не параллельны), называются скрещивающимися.

Ответ: Нет, не могут.