Номер 16, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. Могут ли две плоскости иметь:

а) только одну общую точку;

б) только две общие точки;

в) только одну общую прямую;

г) только две общие прямые?

N; C D E F Q P O N

Рис. 86

а) только одну общую точку;

Нет, не могут. Согласно одной из аксиом стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Прямая, в свою очередь, состоит из бесконечного множества точек. Следовательно, если у двух плоскостей есть одна общая точка, то у них есть и бесконечно много других общих точек, которые все лежат на прямой их пересечения. Таким образом, две плоскости не могут иметь только одну общую точку.

Ответ: нет.

б) только две общие точки;

Нет, не могут. Если две плоскости имеют две общие точки (назовем их $A$ и $B$), то по другой аксиоме стереометрии, вся прямая, проходящая через эти две точки (прямая $AB$), принадлежит каждой из этих плоскостей. Это означает, что вся прямая $AB$ является их общей прямой, то есть линией их пересечения. Поскольку любая прямая содержит бесконечное множество точек, две плоскости не могут иметь только две общие точки.

Ответ: нет.

в) только одну общую прямую;

Да, могут. Это является стандартным случаем взаимного расположения двух пересекающихся плоскостей. Если две плоскости не параллельны и не совпадают, они пересекаются ровно по одной прямой. Например, плоскость потолка и плоскость стены в комнате пересекаются по одной прямой. В фигуре, представленной на рисунке 86, плоскость грани $CDFE$ и плоскость грани $CQPE$ пересекаются по прямой $CE$. Кроме точек, лежащих на этой прямой, у данных плоскостей нет других общих точек.

Ответ: да.

г) только две общие прямые?

Нет, не могут. Предположим, что две различные плоскости, $\alpha$ и $\beta$, имеют две общие прямые, $a$ и $b$. Рассмотрим возможные случаи расположения этих прямых:
1. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $M$, то обе плоскости ($\alpha$ и $\beta$) проходят через две пересекающиеся прямые. Но через две пересекающиеся прямые можно провести только одну-единственную плоскость. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать, что противоречит условию о том, что это две различные плоскости.
2. Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то обе плоскости ($\alpha$ и $\beta$) проходят через эти две параллельные прямые. Через две параллельные прямые также можно провести только одну плоскость. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ и в этом случае должны совпадать.
В обоих случаях мы приходим к выводу, что если две плоскости имеют две общие прямые, они должны совпадать. А совпадающие плоскости имеют бесконечно много общих прямых, а не только две. Следовательно, две различные плоскости не могут иметь ровно две общие прямые.

Ответ: нет.