Номер 13, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Верно ли, что:

а) через любые две точки проходит единственная прямая;

б) через любые три точки проходит единственная плоскость;

в) три попарно пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

а) Да, это утверждение верно. Оно является одной из основных аксиом геометрии, которая гласит, что через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.
Ответ: да, верно.

б) Нет, это утверждение неверно. Единственная плоскость проходит через три точки только в том случае, если эти точки не лежат на одной прямой (неколлинеарны). Если же три точки лежат на одной прямой, то через эту прямую (а значит, и через эти три точки) можно провести бесконечно много плоскостей. Например, страницы раскрытой книги проходят через одну и ту же линию на переплете.
Ответ: нет, неверно.

в) Нет, это утверждение неверно. Три попарно пересекающиеся прямые не всегда лежат в одной плоскости.
Обоснование:
Рассмотрим контрпример. Пусть три прямые пересекаются в одной общей точке. Например, оси координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ в трехмерной декартовой системе координат.

• Прямая $Ox$ пересекает прямую $Oy$ в начале координат.
• Прямая $Ox$ пересекает прямую $Oz$ в начале координат.
• Прямая $Oy$ пересекает прямую $Oz$ в начале координат.

Таким образом, эти три прямые попарно пересекаются. Однако они не лежат в одной плоскости. Любые две из этих прямых (например, $Ox$ и $Oy$) определяют плоскость (в данном случае $Oxy$), но третья прямая ($Oz$) лишь пересекает эту плоскость в одной точке и не лежит в ней. Поскольку существует контрпример, общее утверждение является ложным.
Стоит отметить, что если три прямые попарно пересекаются в трех разных точках, то они всегда лежат в одной плоскости (плоскости треугольника, который они образуют). Но так как в вопросе говорится о любых трех попарно пересекающихся прямых, достаточно одного контрпримера, чтобы опровергнуть утверждение.
Ответ: нет, неверно.