Номер 15, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

15. На рисунке 86 изображён параллелепипед. Назовите:

а) плоскости, пересекающие прямую $CQ$;

б) плоскости, пересекающие прямую $OP$;

в) плоскости, в которых лежит прямая $NO$;

г) плоскости, которым принадлежит прямая $DN$;

д) плоскости, параллельные прямой $CF$;

е) плоскости, параллельные прямой $EO$.

Для решения задачи представим параллелепипед в виде векторной модели. Пусть вершина $C$ находится в начале координат, а ребра, выходящие из нее, заданы векторами $\vec{CD} = \mathbf{a}$, $\vec{CF} = \mathbf{b}$, $\vec{CO} = \mathbf{c}$. Тогда остальные вершины параллелепипеда $CDEFOPQN$ имеют следующие координаты:

• $C: 0$
• $D: \mathbf{a}$
• $F: \mathbf{b}$
• $E: \mathbf{a} + \mathbf{b}$ (так как $CDEF$ — параллелограмм)
• $O: \mathbf{c}$
• $P: \mathbf{a} + \mathbf{c}$ (так как $CDPO$ — параллелограмм)
• $N: \mathbf{b} + \mathbf{c}$ (так как $CFNO$ — параллелограмм)
• $Q: \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}$ (так как $DEQP$ — параллелограмм)

Грани параллелепипеда — это плоскости, проходящие через соответствующие четверки вершин: нижняя грань $(CDEF)$, верхняя грань $(OPQN)$, и боковые грани $(CDPO)$, $(CFNO)$, $(DEQP)$, $(EFNQ)$.

а) плоскости, пересекающие прямую $CQ$

Прямая $CQ$ соединяет вершины $C(0)$ и $Q(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})$. Эта прямая является пространственной диагональю параллелепипеда. Прямая пересекает плоскость, если она имеет с ней хотя бы одну общую точку. Вершина $C$ принадлежит плоскостям $(CDEF)$, $(CDPO)$ и $(CFNO)$. Вершина $Q$ принадлежит плоскостям $(OPQN)$, $(DEQP)$ и $(EFNQ)$. Так как прямая $CQ$ проходит через точки $C$ и $Q$, она пересекает все шесть плоскостей, содержащих эти точки. Прямая $CQ$ не лежит ни в одной из этих плоскостей и не параллельна ни одной из них, следовательно, она пересекает каждую из шести граней параллелепипеда в одной точке. Ответ: $(CDEF), (OPQN), (CDPO), (DEQP), (EFNQ), (CFNO)$.

б) плоскости, пересекающие прямую $OP$

Прямая $OP$ является ребром параллелепипеда. Она лежит в двух плоскостях: верхней грани $(OPQN)$ и боковой грани $(CDPO)$. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро $OP$ параллельно ребру $CD$ (так как $CDPO$ — параллелограмм), которое лежит в плоскости нижней грани $(CDEF)$. Следовательно, прямая $OP$ параллельна плоскости $(CDEF)$. Также $OP$ параллельно ребру $NQ$, которое лежит в грани $(EFNQ)$, значит $OP$ параллельна плоскости $(EFNQ)$. Остаются две грани: $(DEQP)$ и $(CFNO)$. Плоскость $(DEQP)$ содержит точку $P$, но не содержит точку $O$. Следовательно, прямая $OP$ пересекает плоскость $(DEQP)$ в точке $P$. Плоскость $(CFNO)$ содержит точку $O$, но не содержит точку $P$. Следовательно, прямая $OP$ пересекает плоскость $(CFNO)$ в точке $O$. Ответ: $(DEQP), (CFNO)$.

в) плоскости, в которых лежит прямая $NO$

Прямая $NO$ является ребром параллелепипеда. Любое ребро является линией пересечения двух граней. Вершины $N$ и $O$ принадлежат верхней грани, следовательно, прямая $NO$ лежит в плоскости $(OPQN)$. Вершины $N$ и $O$ также принадлежат боковой грани, следовательно, прямая $NO$ лежит в плоскости $(CFNO)$. Ответ: $(OPQN), (CFNO)$.

г) плоскости, которым принадлежит прямая $DN$

Прямая $DN$ соединяет вершины $D$ и $N$. Это пространственная диагональ, и она не лежит ни в одной из шести граней параллелепипеда. Однако она может лежать в диагональных плоскостях. Диагональная плоскость проходит через два противоположных ребра.1. Плоскость $(CDQN)$. Она проходит через противоположные параллельные ребра $CD$ и $NQ$ ($CD \parallel OP \parallel NQ$). Так как точки $D$ и $N$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $DN$ лежит в ней.2. Плоскость $(DEON)$. Она проходит через противоположные параллельные ребра $DE$ и $ON$ ($DE \parallel CF \parallel ON$). Так как точки $D$ и $N$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $DN$ лежит в ней.3. Плоскость $(DPNF)$. Она проходит через противоположные параллельные ребра $DP$ и $FN$ ($DP \parallel CO \parallel FN$). Так как точки $D$ и $N$ лежат в этой плоскости, то и вся прямая $DN$ лежит в ней. Ответ: $(CDQN), (DEON), (DPNF)$.

д) плоскости, параллельные прямой $CF$

Прямая $CF$ — это ребро параллелепипеда. Плоскость параллельна прямой, если в плоскости есть прямая, параллельная данной прямой, и данная прямая не лежит в этой плоскости. Ребра, параллельные $CF$: $DE$, $ON$, $PQ$. Прямая $DE$ лежит в плоскости $(DEQP)$. Прямая $PQ$ также лежит в плоскости $(DEQP)$. Так как $CF$ не лежит в этой плоскости, то плоскость $(DEQP)$ параллельна прямой $CF$. Прямая $ON$ лежит в плоскости $(OPQN)$. Прямая $PQ$ также лежит в плоскости $(OPQN)$. Так как $CF$ не лежит в этой плоскости, то плоскость $(OPQN)$ параллельна прямой $CF$. Прямые $CF$ и $ON$ лежат в плоскости $(CFNO)$, а прямые $CF$ и $DE$ лежат в плоскости $(CDEF)$, поэтому эти плоскости не параллельны прямой $CF$, а содержат ее. Ответ: $(DEQP), (OPQN)$.

е) плоскости, параллельные прямой $EO$

Прямая $EO$ соединяет вершины $E(\mathbf{a} + \mathbf{b})$ и $O(\mathbf{c})$. Это пространственная диагональ. Проверим, пересекает ли прямая $EO$ грани параллелепипеда. Прямая $EO$ проходит через точку $E$, которая принадлежит плоскостям $(CDEF)$, $(DEQP)$, $(EFNQ)$. Прямая $EO$ проходит через точку $O$, которая принадлежит плоскостям $(OPQN)$, $(CDPO)$, $(CFNO)$. Поскольку прямая $EO$ содержит по одной точке из каждой из шести граней, она пересекает все шесть граней параллелепипеда. Линия, пересекающая плоскость, не может быть ей параллельна. Следовательно, среди граней параллелепипеда нет плоскостей, параллельных прямой $EO$. Ответ: Таких плоскостей среди граней параллелепипеда нет.