Номер 25, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

25. Используя рисунок 89, назовите:

а) точки, лежащие в плоскостях $LMQ$ и $NME$;

б) плоскости, в которых лежит прямая $NR$;

в) точку пересечения прямой $BC$ с плоскостью $KLN$;

г) точки пересечения прямых $PL$ и $ND$ с плоскостью $OPR$;

д) прямую, по которой пересекаются плоскости $KON$ и $KLM$;

е) прямую, по которой пересекаются плоскости $RDQ$ и $MNK$;

ж) точку пересечения прямых $AB$ и $LM$;

з) точку пересечения прямых $RQ$ и $BD$;

и) точку пересечения прямых $BQ$ и $MC$.

Рис. 89

а) точки, лежащие в плоскостях $LMQ$ и $NME$;

Плоскость, проходящая через точки L, M, Q, является плоскостью боковой грани $LMQP$. Точка E, по условию, лежит на ребре $RQ$. Ребро $RQ$ принадлежит плоскости боковой грани $NMRQ$. Точки N и M также лежат в этой плоскости. Следовательно, плоскость, проходящая через точки N, M, E, совпадает с плоскостью грани $NMRQ$. Таким образом, задача сводится к нахождению точек, принадлежащих одновременно двум плоскостям граней $LMQP$ и $NMRQ$. Эти плоскости пересекаются по общему ребру $MQ$. Точки, названные на рисунке и лежащие на ребре $MQ$, — это вершины M и Q.

Ответ: M, Q.

б) плоскости, в которых лежит прямая $NR$;

Прямая $NR$ является ребром параллелепипеда. Каждое ребро является линией пересечения двух смежных граней. Прямая $NR$ является общей стороной для боковых граней $NMRQ$ и $NKOR$. Следовательно, прямая $NR$ лежит в плоскостях этих двух граней.

Ответ: плоскости $NMRQ$ и $NKOR$.

в) точку пересечения прямой $BC$ с плоскостью $KLN$;

Задачи (в), (ж), (з), (и) содержат точки A, B, C, D, положение которых не определено до конца. Однако, предположение о том, что эти задачи имеют однозначный ответ в виде одной из именованных точек, позволяет определить их положение. Из условий задач (з) и (и) следует, что прямая $BC$ должна совпадать с прямой $PM$. Плоскость $KLN$ — это плоскость нижнего основания $KLMN$. Прямая $PM$ является диагональю боковой грани. Она пересекает плоскость нижнего основания $KLMN$ в точке M.

Ответ: M.

г) точки пересечения прямых $PL$ и $ND$ с плоскостью $OPR$;

Плоскость $OPR$ содержит три вершины верхнего основания, не лежащие на одной прямой, следовательно, она совпадает с плоскостью верхнего основания $OPQR$. 1. Прямая $PL$ соединяет вершину верхнего основания P с вершиной нижнего основания L. Точка P лежит в плоскости $OPQR$, а точка L — нет. Следовательно, прямая $PL$ пересекает плоскость $OPQR$ в точке P. 2. Прямая $ND$ соединяет вершину нижнего основания N с точкой D, лежащей на ребре $OR$ верхнего основания. Точка D лежит в плоскости $OPQR$, а точка N — нет. Следовательно, прямая $ND$ пересекает плоскость $OPQR$ в точке D.

Ответ: P, D.

д) прямую, по которой пересекаются плоскости $KON$ и $KLM$;

Плоскость $KLM$ содержит три вершины нижнего основания, поэтому совпадает с плоскостью этого основания $KLMN$. Плоскость $KON$ имеет две общие точки с плоскостью $KLMN$: точки K и N. Поскольку две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через все их общие точки, то линией пересечения является прямая $KN$.

Ответ: $KN$.

е) прямую, по которой пересекаются плоскости $RDQ$ и $MNK$;

Плоскость $RDQ$ содержит точки R, Q и D (на ребре $OR$). Все эти точки лежат в плоскости верхнего основания $OPQR$, поэтому плоскость $RDQ$ совпадает с плоскостью $OPQR$. Плоскость $MNK$ содержит три вершины нижнего основания, поэтому совпадает с плоскостью $KLMN$. В параллелепипеде плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны, следовательно, они не пересекаются.

Ответ: Прямой пересечения не существует, так как плоскости параллельны.

ж) точку пересечения прямых $AB$ и $LM$;

Как было установлено при решении пункта (в), прямая $AB$ (та же, что и $BC$) должна совпадать с прямой $PM$. Прямые $PM$ и $LM$ — это диагональ и сторона грани $LMQP$. Они лежат в одной плоскости и имеют общую вершину M, которая и является точкой их пересечения.

Ответ: M.

з) точку пересечения прямых $RQ$ и $BD$;

Условие, что прямые $RQ$ и $BD$ пересекаются, означает, что точки R, Q, B, D лежат в одной плоскости. Так как R и Q лежат в плоскости верхнего основания $OPQR$, то и точки B и D должны лежать в этой плоскости. Из решения пункта (в) следует, что прямая, содержащая точку B, это $PM$, а ее пересечение с плоскостью $OPQR$ — точка P. Значит, $B=P$. Чтобы точка пересечения была именованной, необходимо также предположить, что точка D совпадает с вершиной R (т.к. D лежит на $OR$). Задача сводится к нахождению точки пересечения прямых $RQ$ и $PR$. Эти прямые лежат в плоскости верхнего основания и пересекаются в общей точке R.

Ответ: R.

и) точку пересечения прямых $BQ$ и $MC$.

Из предыдущих пунктов следует, что $B=P$, а прямая, содержащая точку C (прямая $BC$), совпадает с прямой $PM$. Таким образом, точка C лежит на прямой $PM$. Задача сводится к нахождению точки пересечения прямых $PQ$ и $MC$. Прямая $MC$ проходит через точку M и точку C, лежащую на прямой $PM$, следовательно, прямая $MC$ совпадает с прямой $PM$. Искомая точка является пересечением прямых $PQ$ и $PM$. Эти прямые являются стороной и диагональю грани $LMQP$ и пересекаются в точке P.

Ответ: P.