Номер 29, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

29. Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько имеется таких плоскостей?

Эта задача состоит из двух частей: доказательство факта существования плоскости и определение количества таких плоскостей.

Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость
Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, лежащие на одной прямой $a$.
Согласно одной из аксиом стереометрии, через любую прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Рассмотрим нашу прямую $a$. В пространстве всегда существует точка $D$, не лежащая на этой прямой (так как не все точки пространства лежат на одной прямой).
Проведем через прямую $a$ и точку $D$ плоскость, назовем ее $\alpha$. Существование такой плоскости гарантируется указанной аксиомой.
По определению, если плоскость проходит через прямую, то все точки этой прямой принадлежат данной плоскости. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$, лежащие на прямой $a$, также принадлежат плоскости $\alpha$.
Таким образом, доказано, что через три точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость.

Сколько имеется таких плоскостей?
В доказательстве выше мы построили плоскость $\alpha$, используя произвольную точку $D$, не лежащую на прямой $a$. Однако выбор такой точки не является единственным.
Вокруг прямой $a$ можно "вращать" плоскость. Каждое положение этой плоскости будет уникальным, и каждое из них будет содержать прямую $a$, а значит, и точки $A$, $B$ и $C$. Поскольку в пространстве существует бесконечное множество точек, не лежащих на прямой $a$ (например, все точки на окружности, центр которой лежит на прямой $a$, а сама окружность находится в плоскости, перпендикулярной этой прямой), мы можем построить бесконечное множество различных плоскостей.
Этот набор плоскостей, проходящих через одну прямую, называется пучком плоскостей.
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, проходит бесконечное множество плоскостей.
Ответ: Через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Существует бесконечное множество таких плоскостей.