Номер 23, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

23. Сколько образуется линий при попарном пересечении трёх плоскостей?

Количество линий, которые образуются при попарном пересечении трёх плоскостей, зависит от их взаимного расположения в пространстве. Чтобы найти все возможные варианты, рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Все три плоскости параллельны друг другу.

Пусть даны три различные плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и при этом они все параллельны между собой: $\alpha \parallel \beta \parallel \gamma$. В этом случае никакая пара плоскостей не пересекается. Следовательно, линий пересечения не образуется.

Количество линий: 0.

2. Две из трёх плоскостей параллельны, а третья их пересекает.

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), а третья плоскость $\gamma$ не параллельна им. В этом случае плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой $a$, а плоскость $\beta$ — по прямой $b$. Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, прямые их пересечения параллельны ($a \parallel b$). Сами плоскости $\alpha$ и $\beta$ не пересекаются. Таким образом, в этом случае образуются ровно две линии.

Количество линий: 2.

3. Все три плоскости пересекаются по одной общей прямой.

Это случай, когда все три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ проходят через одну и ту же прямую $l$. Такое расположение плоскостей можно представить как страницы раскрытой книги, которые пересекаются по линии переплёта. В этом случае пересечение любой пары этих плоскостей даёт одну и ту же прямую $l$.

$\alpha \cap \beta = l$

$\beta \cap \gamma = l$

$\alpha \cap \gamma = l$

Следовательно, образуется только одна линия пересечения.

Количество линий: 1.

4. Плоскости попарно пересекаются по трём разным прямым.

Это общий случай, когда никакие две плоскости не параллельны и все три не проходят через одну общую прямую. В такой конфигурации каждая пара плоскостей образует свою уникальную линию пересечения:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l_1$.
• Плоскости $\beta$ и $\gamma$ пересекаются по прямой $l_2$.
• Плоскости $\gamma$ и $\alpha$ пересекаются по прямой $l_3$.

Эти три прямые ($l_1$, $l_2$, $l_3$) могут либо пересекаться в одной точке (образуя вершину трёхгранного угла), либо быть параллельными друг другу (образуя боковые рёбра бесконечной треугольной призмы). В обоих вариантах общее количество линий пересечения равно трём.

Количество линий: 3.

Таким образом, рассмотрев все возможные варианты взаимного расположения трёх плоскостей, мы установили, что количество линий пересечения может быть 0, 1, 2 или 3.

Ответ: При попарном пересечении трёх плоскостей может образоваться 0, 1, 2 или 3 линии.