Номер 12, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Назовите способы задания плоскости.

Плоскость в пространстве можно однозначно определить (задать) несколькими способами. Ключевые способы основываются на аксиомах стереометрии, а также на методах аналитической геометрии.

1. Задание плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой

   Согласно основной аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой (неколлинеарные точки), проходит плоскость, и притом только одна. Если даны точки $A$, $B$ и $C$, которые не принадлежат одной прямой, они однозначно определяют плоскость $\alpha$.

2. Задание плоскости прямой и точкой, не лежащей на ней

   Этот способ является следствием из первого. Пусть дана прямая $l$ и точка $M$, не принадлежащая ей ($M \notin l$). На прямой $l$ можно выбрать две любые различные точки, например, $A$ и $B$. Таким образом, мы получаем три неколлинеарные точки $A$, $B$ и $M$, которые, согласно первому способу, задают единственную плоскость.

3. Задание плоскости двумя пересекающимися прямыми

   Если две прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $M$, они также задают единственную плоскость. Для доказательства достаточно взять на прямой $l_1$ точку $A$ (где $A \ne M$) и на прямой $l_2$ точку $B$ (где $B \ne M$). Точки $A$, $B$ и $M$ не лежат на одной прямой, следовательно, они определяют единственную плоскость, содержащую обе прямые.

4. Задание плоскости двумя параллельными прямыми

   Две различные параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ также однозначно определяют плоскость. Чтобы это показать, можно взять на прямой $l_1$ точку $A$. Поскольку $A \notin l_2$, через прямую $l_2$ и точку $A$ проходит единственная плоскость. Эта плоскость будет содержать и всю прямую $l_1$, так как проходит через ее точку $A$ и параллельна прямой $l_2$.

5. Задание плоскости в аналитической геометрии

   В декартовой системе координат плоскость можно задать точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит, и ненулевым вектором $\vec{n} = (A, B, C)$, перпендикулярным (нормальным) к этой плоскости. Это приводит к общему уравнению плоскости: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, которое можно переписать в виде $Ax + By + Cz + D = 0$, где $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$.

Ответ:

Основные способы задания плоскости:

• Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
• Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.
• Двумя пересекающимися прямыми.
• Двумя параллельными прямыми.
• Точкой и нормальным к плоскости вектором (что в координатах приводит к общему уравнению плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$).