Номер 14, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. На рисунке 85 изображена призма, основания которой — правильные шестиугольники. Назовите:

а) прямые, пересекающие плоскость $ABC$;

б) прямые, пересекающие плоскость $UTF$;

в) прямые, лежащие в плоскости $PTR$;

г) прямые, лежащие в плоскости $CDR$;

д) прямые, параллельные плоскости $FEC$;

е) прямые, параллельные плоскости $AQB$.

Рис. 85

На рисунке изображена шестиугольная призма ABCDEFPQRSTU, где ABCDEF — нижнее основание, а PQRSTU — верхнее основание. Боковые ребра соединяют соответствующие вершины: AP, BQ, CR, DS, ET, FU.

Плоскость ABC — это плоскость нижнего основания призмы, то есть плоскость (ABCDEF). Прямая пересекает плоскость, если она имеет с ней ровно одну общую точку и не лежит в этой плоскости. Боковые ребра призмы соединяют вершины верхнего и нижнего оснований. Каждое боковое ребро (например, AP) пересекает плоскость нижнего основания в одной точке (в точке A). Следовательно, все боковые ребра пересекают плоскость ABC.

Ответ: AP, BQ, CR, DS, ET, FU.

Вершины U и T лежат в плоскости верхнего основания, а вершина F — в плоскости нижнего. В данной призме вершине F из нижнего основания соответствует вершина U из верхнего, а вершине E соответствует вершина T. Это означает, что отрезки FU и ET являются боковыми ребрами. Ребро верхнего основания TU параллельно соответствующему ему ребру нижнего основания FE. Плоскость, проходящая через две параллельные прямые TU и FE, содержит четырехугольник TUEF, который является боковой гранью призмы. Таким образом, плоскость (UTF) — это плоскость боковой грани (TUEF). Прямая пересекает плоскость, если она имеет с ней ровно одну общую точку. Такими прямыми являются, например, ребра призмы, которые имеют с гранью TUEF ровно одну общую вершину.

• Прямая ST пересекает плоскость в точке T.
• Прямая UP пересекает плоскость в точке U.
• Прямая DE пересекает плоскость в точке E.
• Прямая FA пересекает плоскость в точке F.

Ответ: ST, UP, DE, FA.

Вершины P, T, R лежат в плоскости верхнего основания призмы. Так как эти три точки не лежат на одной прямой, они однозначно определяют плоскость верхнего основания (PQRSTU). Прямые, лежащие в этой плоскости, — это прямые, содержащие стороны (ребра) шестиугольника PQRSTU.

Ответ: PQ, QR, RS, ST, TU, UP.

Вершины C и D являются смежными вершинами нижнего основания. Вершина R — вершина верхнего основания, соответствующая вершине C (CR — боковое ребро). Вершина S соответствует вершине D (DS — боковое ребро). Поскольку боковые ребра призмы параллельны, то CR параллельно DS. Четырехугольник CDRS является боковой гранью призмы (параллелограммом). Точки C, D, R, и S лежат в одной плоскости. Таким образом, плоскость (CDR) — это плоскость боковой грани (CDRS). Прямые, лежащие в этой плоскости, — это прямые, содержащие стороны этого четырехугольника.

Ответ: CD, DS, SR, RC.

Вершины F, E, C лежат в плоскости нижнего основания. Так как они не лежат на одной прямой, они определяют плоскость нижнего основания (ABCDEF). Плоскость верхнего основания (PQRSTU) параллельна плоскости нижнего основания. Любая прямая, лежащая в плоскости верхнего основания, параллельна плоскости нижнего основания. Такими прямыми являются ребра верхнего основания.

Ответ: PQ, QR, RS, ST, TU, UP.

Вершины A и B лежат на ребре нижнего основания. Вершина Q — вершина верхнего основания, соответствующая вершине B (BQ — боковое ребро). Вершина P соответствует вершине A (AP — боковое ребро). Четырехугольник ABQP является боковой гранью призмы, поэтому точки A, B, Q, P лежат в одной плоскости. Таким образом, плоскость (AQB) — это плоскость боковой грани (ABQP). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

• В правильном шестиугольнике сторона ED параллельна стороне AB. Так как прямая AB лежит в плоскости (ABQP), то прямая ED параллельна этой плоскости. Аналогично, ребро верхнего основания ST параллельно ребру PQ, которое лежит в плоскости (ABQP), значит ST параллельна этой плоскости.
• Боковые ребра CR, DS, ET, FU параллельны боковым ребрам AP и BQ, которые лежат в плоскости (ABQP). Следовательно, прямые CR, DS, ET, FU также параллельны этой плоскости.

Ответ: ED, ST, CR, DS, ET, FU.