Номер 21, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

21. Сколько общих точек могут иметь:

а) две прямые;

б) прямая и плоскость;

в) две плоскости?

а) две прямые

Взаимное расположение двух прямых в пространстве определяет количество их общих точек. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Пересекающиеся прямые. Если две прямые лежат в одной плоскости и не параллельны друг другу, они пересекаются в одной единственной точке. Количество общих точек — 1.

2. Параллельные прямые. Если две различные прямые лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются, они называются параллельными. У них нет общих точек. Количество общих точек — 0.

3. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые лежат в разных плоскостях и не пересекаются, они называются скрещивающимися. У них также нет общих точек. Количество общих точек — 0.

4. Совпадающие прямые. Если рассматриваемые "две прямые" на самом деле являются одной и той же прямой, то они имеют общими все свои точки. Количество общих точек — бесконечно много.

Таким образом, две прямые могут иметь ноль, одну или бесконечно много общих точек.

Ответ: 0, 1 или бесконечно много.

б) прямая и плоскость

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве может быть одним из трех следующих:

1. Прямая пересекает плоскость. Если прямая не параллельна плоскости и не лежит в ней, она пересекает плоскость в одной точке. В этом случае у них одна общая точка.

2. Прямая параллельна плоскости. Если прямая и плоскость не имеют общих точек, они называются параллельными. В этом случае у них нет общих точек (0 общих точек).

3. Прямая лежит в плоскости. Если каждая точка прямой принадлежит плоскости, говорят, что прямая лежит в плоскости. В этом случае у них бесконечно много общих точек.

Следовательно, прямая и плоскость могут иметь ноль, одну или бесконечно много общих точек.

Ответ: 0, 1 или бесконечно много.

в) две плоскости

Для двух плоскостей в пространстве существует три варианта взаимного расположения:

1. Пересекающиеся плоскости. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Так как прямая состоит из бесконечного множества точек, у пересекающихся плоскостей бесконечно много общих точек.

2. Параллельные плоскости. Если две различные плоскости не имеют общих точек, они параллельны. В этом случае у них нет общих точек (0 общих точек).

3. Совпадающие плоскости. Если рассматриваемые "две плоскости" являются одной и той же плоскостью, то все их точки общие. У них также бесконечно много общих точек.

Таким образом, две плоскости могут либо не иметь общих точек, либо иметь их бесконечно много.

Ответ: 0 или бесконечно много.