Номер 26, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

26. Четырёхугольная пирамида $PGHKL$ на рисунке 90 — правильная, а $PA$ и $PB$ — высоты её граней $PGH$ и $PHK$. Докажите, что треугольники $PGA$ и $PHB$ равны.

Рис. 90

Для доказательства равенства треугольников $PGA$ и $PHB$ рассмотрим свойства правильной пирамиды и элементы данных треугольников.

1. Свойства правильной пирамиды $PGHKL$

По определению, правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, а её вершина проецируется в центр основания. Из этого следуют два важных для нас факта:

• Все боковые рёбра правильной пирамиды равны. Следовательно, $PG = PH$.
• Все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Следовательно, треугольник $PGH$ равен треугольнику $PHK$ ($ΔPGH = ΔPHK$). Также равны и стороны основания: $GH = HK$.

2. Анализ треугольников $PGA$ и $PHB$

По условию задачи, отрезок $PA$ является высотой боковой грани $PGH$, проведённой к стороне основания $GH$. Это означает, что $PA$ перпендикулярен $GH$ ($PA \perp GH$), и, следовательно, угол $∠PAG$ является прямым ($∠PAG = 90°$). Таким образом, треугольник $PGA$ — прямоугольный.

Аналогично, отрезок $PB$ является высотой боковой грани $PHK$, проведённой к стороне основания $HK$. Это означает, что $PB$ перпендикулярен $HK$ ($PB \perp HK$), и, следовательно, угол $∠PBH$ является прямым ($∠PBH = 90°$). Таким образом, треугольник $PHB$ также является прямоугольным.

3. Доказательство равенства треугольников

Теперь сравним прямоугольные треугольники $PGA$ и $PHB$ по их элементам:

1. Гипотенузы: Гипотенуза треугольника $PGA$ — это сторона $PG$. Гипотенуза треугольника $PHB$ — это сторона $PH$. Как было установлено в пункте 1, боковые рёбра правильной пирамиды равны, поэтому $PG = PH$.
2. Катеты: Катет $PA$ и катет $PB$ являются высотами в боковых гранях $PGH$ и $PHK$ соответственно. Поскольку грани-треугольники $ΔPGH$ и $ΔPHK$ равны, то и их соответственные высоты, проведённые к равным сторонам $GH$ и $HK$, также равны. Следовательно, $PA = PB$.

Поскольку мы имеем два прямоугольных треугольника, у которых равны гипотенуза и один из катетов, эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Следовательно, $ΔPGA = ΔPHB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $PGA$ и $PHB$ равны, так как они являются прямоугольными треугольниками (поскольку $PA$ и $PB$ — высоты граней), у которых равны гипотенузы ($PG = PH$, так как это боковые рёбра правильной пирамиды) и равны катеты ($PA = PB$, так как это высоты равных боковых граней).