Номер 32, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

32. Докажите, что любая прямая, которая:

а) проходит через вершину $A$ треугольной пирамиды $ABCD$ и пересекает прямую $CD$, принадлежит плоскости $ACD$;

б) не проходит через вершину $B$ треугольной пирамиды $ABCD$ и пересекает как прямую $BC$, так и прямую $BD$, принадлежит плоскости $BCD$.

а) проходит через вершину А треугольной пирамиды ABCD и пересекает прямую CD, принадлежит плоскости ACD;

Пусть $l$ — это произвольная прямая, которая проходит через вершину $A$ треугольной пирамиды $ABCD$ и пересекает прямую $CD$. Обозначим точку пересечения прямой $l$ с прямой $CD$ как $M$.

По условию, прямая $l$ проходит через точку $A$, следовательно, точка $A$ принадлежит прямой $l$, то есть $A \in l$.

Также по условию, прямая $l$ пересекает прямую $CD$ в точке $M$, следовательно, точка $M$ принадлежит как прямой $l$, так и прямой $CD$, то есть $M \in l$ и $M \in CD$.

Рассмотрим плоскость $(ACD)$. Эта плоскость однозначно задается тремя точками $A, C$ и $D$.

По определению, точка $A$ является одной из вершин, определяющих плоскость $(ACD)$, значит, $A \in (ACD)$.

Прямая $CD$ проходит через две точки плоскости $(ACD)$ (точки $C$ и $D$), следовательно, по аксиоме стереометрии вся прямая $CD$ лежит в этой плоскости, то есть $CD \subset (ACD)$.

Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $CD$ ($M \in CD$), а прямая $CD$ целиком лежит в плоскости $(ACD)$, то и точка $M$ также принадлежит плоскости $(ACD)$, то есть $M \in (ACD)$.

Таким образом, мы установили, что две точки, $A$ и $M$, одновременно принадлежат и прямой $l$, и плоскости $(ACD)$.

Точки $A, C, D$ являются вершинами грани пирамиды, которая представляет собой треугольник. Следовательно, эти три точки не лежат на одной прямой. Это означает, что вершина $A$ не может лежать на прямой $CD$. Значит, точка $A$ не совпадает с точкой $M$ ($A \neq M$).

Согласно основной аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Так как две различные точки $A$ и $M$ прямой $l$ лежат в плоскости $(ACD)$, то вся прямая $l$ принадлежит плоскости $(ACD)$, что и требовалось доказать.

Ответ:

б) не проходит через вершину B треугольной пирамиды ABCD и пересекает как прямую BC, так и прямую BD, принадлежит плоскости BCD.

Пусть $k$ — это произвольная прямая, которая не проходит через вершину $B$ треугольной пирамиды $ABCD$, но пересекает и прямую $BC$, и прямую $BD$.

Обозначим точку пересечения прямой $k$ с прямой $BC$ как $P$, а точку пересечения прямой $k$ с прямой $BD$ как $Q$.

Из определения следует, что точка $P$ принадлежит и прямой $k$, и прямой $BC$ ($P \in k, P \in BC$). Аналогично, точка $Q$ принадлежит и прямой $k$, и прямой $BD$ ($Q \in k, Q \in BD$).

Рассмотрим плоскость $(BCD)$, которая определена вершинами $B, C, D$.

Прямая $BC$ проходит через две точки плоскости $(BCD)$ (точки $B$ и $C$), следовательно, вся прямая $BC$ лежит в этой плоскости: $BC \subset (BCD)$.

Так как точка $P$ лежит на прямой $BC$, то она также лежит и в плоскости $(BCD)$: $P \in (BCD)$.

Аналогично, прямая $BD$ проходит через две точки плоскости $(BCD)$ (точки $B$ и $D$), следовательно, вся прямая $BD$ лежит в этой плоскости: $BD \subset (BCD)$.

Так как точка $Q$ лежит на прямой $BD$, то она также лежит и в плоскости $(BCD)$: $Q \in (BCD)$.

Таким образом, мы имеем две точки, $P$ и $Q$, которые принадлежат прямой $k$ и одновременно лежат в плоскости $(BCD)$.

Докажем, что точки $P$ и $Q$ различны. Предположим обратное, то есть $P = Q$. Если точки совпадают, то эта общая точка является точкой пересечения прямых $BC$ и $BD$. Прямые $BC$ и $BD$ — это рёбра пирамиды, выходящие из одной вершины $B$, поэтому они пересекаются только в этой вершине. Следовательно, если $P = Q$, то $P = Q = B$.

Если бы $P = Q = B$, то точка $B$ принадлежала бы прямой $k$, так как точки $P$ и $Q$ лежат на этой прямой. Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямая $k$ не проходит через вершину $B$.

Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно, и точки $P$ и $Q$ не могут совпадать, то есть $P \neq Q$.

Мы установили, что две различные точки ($P$ и $Q$) прямой $k$ лежат в плоскости $(BCD)$. По аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Следовательно, вся прямая $k$ принадлежит плоскости $(BCD)$, что и требовалось доказать.

Ответ: