Номер 38, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

38. Прямая $a$ лежит в одной из пересекающихся плоскостей $\beta$ и пересекает другую плоскость $\gamma$. Докажите, что прямая $a$ пересекает линию пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\beta$ и $\gamma$. Линию их пересечения обозначим прямой $c$. По определению, $c = \beta \cap \gamma$. Это означает, что любая точка, принадлежащая прямой $c$, принадлежит одновременно и плоскости $\beta$, и плоскости $\gamma$.
По условию задачи, прямая $a$ лежит в одной из этих плоскостей. Без ограничения общности, предположим, что прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, то есть $a \subset \beta$.
Также известно, что прямая $a$ пересекает другую плоскость, $\gamma$. Это означает, что существует единственная точка, принадлежащая и прямой $a$, и плоскости $\gamma$. Обозначим эту точку пересечения как $M$. Таким образом, $M = a \cap \gamma$.
Из определения точки $M$ следует, что она, во-первых, принадлежит прямой $a$ ($M \in a$) и, во-вторых, принадлежит плоскости $\gamma$ ($M \in \gamma$).
Так как вся прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то любая точка прямой $a$, включая точку $M$, также принадлежит и плоскости $\beta$. Следовательно, $M \in \beta$.
Итак, мы установили, что точка $M$ принадлежит как плоскости $\beta$, так и плоскости $\gamma$. По определению линии пересечения плоскостей, любая точка, принадлежащая обеим плоскостям, должна лежать на их линии пересечения $c$. Значит, точка $M$ принадлежит прямой $c$, то есть $M \in c$.
Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$) и одновременно принадлежит прямой $c$ ($M \in c$), то точка $M$ является точкой пересечения прямых $a$ и $c$. Это доказывает, что прямая $a$ пересекает линию пересечения $c$ плоскостей $\beta$ и $\gamma$.
Ответ: Утверждение доказано.