Номер 42, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

42. Имеется призма $MTUXM_1T_1U_1X_1$. На луче $TT_1$ за точкой $T_1$ выбрана точка $H$, через которую проведены прямые $HU$ и $HX$ (рис. 95). Используя это:

а) докажите, что прямые $HU$ и $T_1U_1$ пересекаются в некоторой точке $B$

б) назовите точку, в которой прямая $HU$ пересекает плоскость $M_1T_1X_1$

в) докажите, что прямые $HX$ и $T_1X_1$ пересекаются в некоторой точке $A$

г) докажите, что прямая $HX$ и плоскость $M_1T_1U_1$ пересекаются в точке $A$

д) назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $XHU$ и $T_1TU$

е) назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $XHU$ и $MTX$

Рис. 95

а) докажите, что прямые $HU$ и $T_1U_1$ пересекаются в некоторой точке $B$;

Рассмотрим плоскость боковой грани $TT_1U_1U$. Точка $H$ по условию лежит на луче $TT_1$, следовательно, точка $H$ принадлежит прямой $TT_1$. Прямая $TT_1$ лежит в плоскости $(TT_1U_1U)$, а значит, и точка $H$ принадлежит этой плоскости. Точка $U$ также является вершиной этой грани и принадлежит плоскости $(TT_1U_1U)$. Поскольку обе точки $H$ и $U$ лежат в плоскости $(TT_1U_1U)$, то и вся прямая $HU$ лежит в этой плоскости. Прямая $T_1U_1$ является ребром верхнего основания призмы и стороной грани $TT_1U_1U$, поэтому она также целиком лежит в плоскости $(TT_1U_1U)$. Таким образом, прямые $HU$ и $T_1U_1$ лежат в одной плоскости. Теперь докажем, что они не параллельны. В призме основания параллельны, поэтому прямая $TU$ параллельна прямой $T_1U_1$. Рассмотрим треугольник $HTU$. Прямая $T_1U_1$ параллельна его основанию $TU$ и пересекает его сторону $HT$ в точке $T_1$. Если бы прямая $HU$ была параллельна прямой $T_1U_1$, то по свойству транзитивности параллельных прямых ($HU \parallel T_1U_1$ и $T_1U_1 \parallel TU$) следовало бы, что $HU \parallel TU$. Но прямые $HU$ и $TU$ имеют общую точку $U$, что является противоречием. Следовательно, прямые $HU$ и $T_1U_1$ не параллельны. Так как прямые $HU$ и $T_1U_1$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке, которую обозначим $B$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $HU$ и $T_1U_1$ лежат в одной плоскости $(TT_1U_1U)$ и не параллельны, следовательно, они пересекаются.

б) назовите точку, в которой прямая $HU$ пересекает плоскость $M_1T_1X_1$;

Плоскость $M_1T_1X_1$ является плоскостью верхнего основания призмы, то есть плоскостью $(M_1T_1U_1X_1)$. В пункте (а) мы доказали, что прямая $HU$ пересекает прямую $T_1U_1$ в точке $B$. Прямая $T_1U_1$ является ребром верхнего основания призмы, поэтому она целиком лежит в плоскости $(M_1T_1U_1X_1)$. Поскольку точка $B$ принадлежит прямой $T_1U_1$, то она также принадлежит и плоскости $(M_1T_1U_1X_1)$. Таким образом, точка $B$ является точкой пересечения прямой $HU$ и плоскости верхнего основания $(M_1T_1X_1)$.

Ответ: Точка $B$.

в) докажите, что прямые $HX$ и $T_1X_1$ пересекаются в некоторой точке $A$;

Решение этого пункта аналогично пункту (а). Рассмотрим плоскость боковой грани $TT_1X_1X$. Точка $H$ лежит на прямой $TT_1$, которая принадлежит плоскости $(TT_1X_1X)$, следовательно, точка $H$ лежит в этой плоскости. Точка $X$ также является вершиной этой грани и лежит в плоскости $(TT_1X_1X)$. Значит, вся прямая $HX$ лежит в плоскости $(TT_1X_1X)$. Прямая $T_1X_1$ является ребром призмы и также лежит в этой плоскости. Следовательно, прямые $HX$ и $T_1X_1$ лежат в одной плоскости. В призме $TX \parallel T_1X_1$. Если предположить, что $HX \parallel T_1X_1$, то из этого следовало бы, что $HX \parallel TX$. Но эти прямые пересекаются в точке $X$, что является противоречием. Значит, прямые $HX$ и $T_1X_1$ не параллельны. Поскольку прямые $HX$ и $T_1X_1$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке, которую обозначим $A$.

Ответ: Прямые $HX$ и $T_1X_1$ лежат в одной плоскости $(TT_1X_1X)$ и не параллельны, следовательно, они пересекаются.

г) докажите, что прямая $HX$ и плоскость $M_1T_1U_1$ пересекаются в точке $A$;

Плоскость $M_1T_1U_1$ — это плоскость верхнего основания призмы $(M_1T_1U_1X_1)$. В пункте (в) было доказано, что прямая $HX$ пересекает прямую $T_1X_1$ в точке $A$. Прямая $T_1X_1$ является ребром верхнего основания призмы и целиком лежит в плоскости $(M_1T_1U_1X_1)$. Так как точка $A$ принадлежит прямой $T_1X_1$, она также принадлежит и плоскости $(M_1T_1U_1X_1)$. Следовательно, точка $A$ является точкой пересечения прямой $HX$ и плоскости верхнего основания, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

д) назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $XHU$ и $T_1TU$;

Плоскость $(T_1TU)$ — это плоскость боковой грани $(TT_1U_1U)$. Чтобы найти прямую пересечения двух плоскостей, нужно найти две их общие точки.1. Точка $U$ по определению принадлежит плоскости $(XHU)$. Также точка $U$ является вершиной грани $(TT_1U_1U)$, поэтому она принадлежит и плоскости $(T_1TU)$. Следовательно, $U$ — общая точка.2. Точка $H$ по определению принадлежит плоскости $(XHU)$. По условию, точка $H$ лежит на прямой $TT_1$, которая, в свою очередь, целиком лежит в плоскости $(T_1TU)$. Значит, точка $H$ также принадлежит плоскости $(T_1TU)$. Следовательно, $H$ — вторая общая точка. Прямая, проходящая через две общие точки $H$ и $U$, является линией пересечения данных плоскостей.

Ответ: Прямая $HU$.

е) назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $XHU$ и $MTX$.

Плоскость $(MTX)$ — это плоскость нижнего основания призмы $(MTUX)$. Найдем две общие точки этих плоскостей.1. Точка $X$ по определению принадлежит плоскости $(XHU)$. Также точка $X$ является вершиной основания, лежащего в плоскости $(MTX)$. Следовательно, $X$ — общая точка.2. Точка $U$ по определению принадлежит плоскости $(XHU)$. Также точка $U$ является вершиной основания, лежащего в плоскости $(MTX)$. Следовательно, $U$ — вторая общая точка. Прямая, проходящая через две общие точки $X$ и $U$, является линией пересечения данных плоскостей.

Ответ: Прямая $XU$.