Номер 40, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

40. Используя рисунок 93, на котором $E$ — точка ребра $AI$ четырёхугольной пирамиды $AIJKL$, точка $F$ принадлежит ребру $AK$, а точка $G$ лежит на луче $AK$ за точкой $K$:

а) назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $IAJ$ и $JAK$;

б) назовите прямую, по которой пересекаются плоскости $AJG$ и $KAL$;

в) докажите, что прямая $EF$ лежит в плоскости $IAK$;

г) докажите, что прямые $EF$ и $FG$ лежат в одной плоскости;

д) назовите плоскости, которым принадлежит прямая $JL$.

Рис. 93

а) Плоскости IAJ и JAK — это две боковые грани пирамиды, которые имеют общее ребро AJ. По аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. В данном случае плоскости имеют две общие точки A и J, следовательно, они пересекаются по прямой AJ.
Ответ: прямая AJ.

б) Рассмотрим плоскость AJG. Она проходит через точки A, J и G. Согласно условию, точка G лежит на луче AK. Это означает, что прямая AG совпадает с прямой AK. Таким образом, плоскость AJG определяется точкой J и прямой AK, то есть это та же самая плоскость, что и AJK. Плоскость KAL проходит через точки K, A, L, что совпадает с плоскостью AKL. Плоскости AJK и AKL имеют две общие точки — A и K. Следовательно, линия их пересечения — это прямая, проходящая через эти точки.
Ответ: прямая AK.

в) Чтобы доказать, что прямая EF лежит в плоскости IAK, необходимо показать, что две различные точки прямой EF принадлежат этой плоскости.
1. По условию задачи, точка E принадлежит ребру AI. Ребро AI, в свою очередь, является одной из образующих прямых плоскости IAK. Следовательно, точка E принадлежит плоскости IAK.
2. Аналогично, по условию, точка F принадлежит ребру AK. Ребро AK также является образующей прямой плоскости IAK. Следовательно, точка F принадлежит плоскости IAK.
3. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Поскольку точки E и F принадлежат плоскости IAK, то и вся прямая EF лежит в этой плоскости. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

г) Чтобы доказать, что прямые EF и FG лежат в одной плоскости, докажем, что они обе лежат в плоскости IAK.
1. Из пункта (в) следует, что прямая EF лежит в плоскости IAK.
2. По условию, точка F принадлежит ребру AK, а точка G лежит на луче AK. Это означает, что обе точки, F и G, лежат на одной прямой AK. Следовательно, прямая FG совпадает с прямой AK.
3. Прямая AK по определению лежит в плоскости IAK.
4. Так как обе прямые, EF и FG (которая совпадает с AK), лежат в одной и той же плоскости IAK, они являются компланарными (лежат в одной плоскости).
Альтернативное доказательство: Прямые EF и FG имеют общую точку F, то есть они пересекаются. По теореме о пересекающихся прямых, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Следовательно, прямые EF и FG лежат в одной плоскости. Утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

д) Прямая JL — это прямая, проходящая через две вершины основания пирамиды, J и L.
1. Прямая JL лежит в плоскости основания пирамиды, так как обе точки J и L принадлежат этой плоскости. Плоскость основания — IJKL.
2. Прямая JL также лежит в плоскости, проходящей через эту прямую и вершину пирамиды A. Три точки A, J и L (не лежащие на одной прямой) однозначно задают плоскость AJL. Прямая JL по определению принадлежит этой плоскости.
Следовательно, прямая JL принадлежит как минимум двум плоскостям.
Ответ: плоскость основания IJKL и плоскость AJL.