Номер 34, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

34. Даны три точки $A$, $B$, $C$, не лежащие на одной прямой. Докажите, что все прямые, которые:

а) проходят через точку $A$ и пересекают прямую $BC$, лежат в одной плоскости;

б) не проходят через точку $A$ и пересекают обе прямые $AB$ и $AC$, лежат в одной плоскости.

а) По условию, точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$.

По следствию из аксиом, если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости. Так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим произвольную прямую $l$, которая удовлетворяет условию: она проходит через точку $A$ и пересекает прямую $BC$. Обозначим точку их пересечения буквой $D$.

Для того чтобы доказать, что прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, достаточно показать, что две различные точки прямой $l$ лежат в этой плоскости.

1. Точка $A$ принадлежит прямой $l$ по условию. Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ по построению этой плоскости.

2. Точка $D$ принадлежит прямой $l$ как точка пересечения. Также точка $D$ принадлежит прямой $BC$. Поскольку вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$.

Точки $A$ и $D$ не совпадают. Если бы они совпадали ($A=D$), то точка $A$ принадлежала бы прямой $BC$, что означало бы, что все три точки $A, B, C$ лежат на одной прямой. Это противоречит условию задачи.

Таким образом, две различные точки $A$ и $D$ прямой $l$ лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $l$ была выбрана произвольно, то все прямые, проходящие через точку $A$ и пересекающие прямую $BC$, лежат в одной плоскости $\alpha$.

Ответ: Все прямые, которые проходят через точку $A$ и пересекают прямую $BC$, лежат в одной плоскости.

б) Рассматриваем ту же плоскость $\alpha$, которая однозначно задана тремя точками $A$, $B$ и $C$.

Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AB$ лежит в этой плоскости. Аналогично, так как точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $AC$ лежит в этой плоскости.

Рассмотрим произвольную прямую $m$, которая удовлетворяет условию: она не проходит через точку $A$, но пересекает прямую $AB$ в точке $M$ и прямую $AC$ в точке $N$.

1. Точка $M$ принадлежит прямой $AB$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. Точка $N$ принадлежит прямой $AC$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $N$ лежит в плоскости $\alpha$.

Точки $M$ и $N$ являются точками прямой $m$ и обе лежат в плоскости $\alpha$. Необходимо доказать, что они различны. Прямые $AB$ и $AC$ — это две различные прямые (поскольку $A, B, C$ не коллинеарны), которые пересекаются в точке $A$. Это их единственная общая точка. Если бы точки $M$ и $N$ совпадали, то эта точка была бы общей для прямых $AB$ и $AC$, то есть $M=N=A$. Однако по условию прямая $m$ не проходит через точку $A$. Значит, $M \neq A$ и $N \neq A$, и, следовательно, $M \neq N$.

Итак, две различные точки $M$ и $N$ прямой $m$ лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, вся прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $m$ была выбрана произвольно, то все прямые, не проходящие через точку $A$ и пересекающие обе прямые $AB$ и $AC$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$.

Ответ: Все прямые, которые не проходят через точку $A$ и пересекают обе прямые $AB$ и $AC$, лежат в одной плоскости.