Номер 33, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

33. Плоскость $\beta$ проходит через две смежные вершины трапеции и точку пересечения её диагоналей. Докажите, что две другие вершины трапеции лежат в плоскости $\beta$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $A$, $B$, $C$, $D$ — её вершины. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, плоскость $\beta$ проходит через две смежные вершины трапеции и точку пересечения её диагоналей. Без ограничения общности, выберем в качестве смежных вершин $A$ и $B$. Таким образом, по условию, точки $A$, $B$ и $O$ лежат в плоскости $\beta$.

Необходимо доказать, что две другие вершины, $C$ и $D$, также лежат в плоскости $\beta$.

Рассмотрим прямую, на которой лежит диагональ $AC$. Точки $A$, $O$ и $C$ принадлежат этой прямой. Из условия известно, что точки $A$ и $O$ принадлежат плоскости $\beta$.

Воспользуемся аксиомой стереометрии: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Поскольку точки $A$ и $O$ прямой $AC$ находятся в плоскости $\beta$, то вся прямая $AC$ также лежит в плоскости $\beta$. Вершина $C$ является точкой этой прямой, следовательно, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$.

Аналогично рассмотрим прямую, на которой лежит диагональ $BD$. Точки $B$, $O$ и $D$ принадлежат этой прямой. Из условия известно, что точки $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\beta$.

Применяя ту же аксиому, мы заключаем, что так как две точки прямой $BD$ (а именно $B$ и $O$) лежат в плоскости $\beta$, то и вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\beta$. Вершина $D$ является точкой этой прямой, следовательно, точка $D$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Таким образом, доказано, что обе оставшиеся вершины трапеции, $C$ и $D$, лежат в плоскости $\beta$. Это означает, что все четыре вершины трапеции находятся в плоскости $\beta$, которая и является плоскостью самой трапеции.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку две смежные вершины (например, $A$ и $B$) и точка пересечения диагоналей ($O$) лежат в плоскости $\beta$, то прямые, содержащие диагонали ($AC$ и $BD$), также целиком лежат в этой плоскости. Следовательно, и две другие вершины ($C$ и $D$), лежащие на этих прямых, принадлежат плоскости $\beta$.