Номер 36, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

36. Имеется прямая $a$ и точка $K$, не принадлежащая ей. Докажите, что все прямые, проходящие через точку $K$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. Определение плоскости.

Согласно основной аксиоме стереометрии (Аксиома С1), через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

В нашем случае даны прямая $a$ и точка $K$, не принадлежащая этой прямой ($K \notin a$). Следовательно, через прямую $a$ и точку $K$ можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$.

По построению, прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), и точка $K$ также принадлежит этой плоскости ($K \in \alpha$).

2. Рассмотрение произвольной прямой.

Возьмем любую прямую, удовлетворяющую условиям задачи. Обозначим ее $b$. По условию, прямая $b$ проходит через точку $K$ и пересекает прямую $a$.

Пусть $M$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$. Таким образом, мы имеем:

• Прямая $b$ проходит через точку $K$, то есть $K \in b$.
• Прямая $b$ пересекает прямую $a$ в точке $M$, то есть $M = a \cap b$.

3. Доказательство принадлежности прямой плоскости.

Так как точка $M$ является точкой пересечения, она принадлежит обеим прямым: $M \in a$ и $M \in b$.

Из пункта 1 мы знаем, что вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Раз точка $M$ лежит на прямой $a$, то она также лежит и в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

Теперь рассмотрим прямую $b$. Мы установили, что две ее точки — точка $K$ и точка $M$ — принадлежат плоскости $\alpha$.

Согласно другой аксиоме стереометрии (Аксиома С2), если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Поскольку две различные точки $K$ и $M$ прямой $b$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

4. Вывод.

Мы взяли произвольную прямую $b$, проходящую через $K$ и пересекающую $a$, и доказали, что она лежит в плоскости $\alpha$. Так как наш выбор был произвольным, это утверждение верно для всех таких прямых. Все они будут лежать в одной и той же, единственно возможной плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все указанные прямые лежат в плоскости, которая однозначно задается прямой $a$ и точкой $K$.