Номер 44, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

44. Точка $M$ — внутренняя точка ребра $AJ$ треугольной пирамиды $AIJK$, точка $N$ лежит на луче $AK$ за точкой $K$. Постройте:

а) точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью $IJK$;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости $IMN$ и $IJK$.

а) Для построения точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(IJK)$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Рассмотрим плоскость $(AJK)$. Точка $M$ лежит на ребре $AJ$, а точка $N$ — на луче $AK$. Следовательно, обе точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости $(AJK)$, а значит, и вся прямая $MN$ лежит в этой плоскости ($MN \subset (AJK)$).

Теперь найдем линию пересечения плоскости $(AJK)$ с плоскостью основания пирамиды $(IJK)$. Эти плоскости имеют две общие точки: $J$ и $K$. Таким образом, они пересекаются по прямой $JK$.

Искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(IJK)$ должна принадлежать обеим этим сущностям. Поскольку прямая $MN$ лежит в плоскости $(AJK)$, искомая точка должна также лежать на линии пересечения плоскостей $(AJK)$ и $(IJK)$, то есть на прямой $JK$.

Следовательно, искомая точка является точкой пересечения прямых $MN$ и $JK$. Так как обе прямые лежат в одной плоскости $(AJK)$, они пересекутся в одной точке (в общем случае, если не параллельны). Обозначим эту точку как $P$.

Построение: Проводим прямую через точки $M$ и $N$. Проводим прямую через точки $J$ и $K$. Точка их пересечения $P$ и есть искомая точка.

Ответ: Точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(IJK)$ — это точка $P$, являющаяся пересечением прямых $MN$ и $JK$.

б) Для того чтобы построить прямую, по которой пересекаются плоскости $(IMN)$ и $(IJK)$, необходимо найти две их общие точки. Искомая прямая будет проходить через эти две точки.

Первая общая точка очевидна из определения плоскостей — это точка $I$. Она по определению принадлежит и плоскости $(IMN)$, и плоскости $(IJK)$, следовательно, она лежит на линии их пересечения.

Вторую общую точку найдем, используя результат, полученный в пункте а). Точка $P$ была построена как точка пересечения прямых $MN$ и $JK$ ($P = MN \cap JK$).

Проверим, принадлежит ли точка $P$ обеим плоскостям:

1. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $MN$ ($P \in MN$), а прямая $MN$ целиком лежит в плоскости $(IMN)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(IMN)$.

2. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $JK$ ($P \in JK$), а прямая $JK$ целиком лежит в плоскости $(IJK)$, то точка $P$ принадлежит плоскости $(IJK)$.

Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $(IMN)$ и $(IJK)$.

Построение: Находим точку $P$ как пересечение прямых $MN$ и $JK$. Затем проводим прямую через точки $I$ и $P$.

Ответ: Прямая, по которой пересекаются плоскости $(IMN)$ и $(IJK)$, — это прямая $IP$.