Номер 48, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

48. Диагонали $KM$ и $LN$ основания $KLMN$ пирамиды $AKLMN$ пересекаются в точке $O$, точка $B$ — внутренняя точка отрезка $KO$, а точка $C$ лежит на луче $LN$ за точкой $N$. Постройте:

a) точку, в которой прямая $BC$ пересекает плоскость $ALM$;

б) прямую, по которой пересекаются плоскости $ABC$ и $ALM$.

а)

Чтобы построить точку, в которой прямая $BC$ пересекает плоскость $ALM$, необходимо найти точку пересечения данной прямой с некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

План построения основан на следующем рассуждении:

1. Прямая $BC$ полностью лежит в плоскости основания $KLMN$. Это следует из того, что точка $B$ является внутренней точкой отрезка $KO$, а точка $C$ лежит на луче $LN$. Поскольку отрезки $KO$ и $LN$ находятся в плоскости основания, то и точки $B$ и $C$, а значит и вся прямая $BC$, лежат в плоскости $(KLMN)$.

2. Плоскость $ALM$ пересекает плоскость основания $KLMN$ по прямой $LM$. Прямая $LM$ является следом плоскости $ALM$ на плоскости основания.

3. Искомая точка пересечения прямой $BC$ и плоскости $ALM$ должна принадлежать обеим этим фигурам. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости основания, то искомая точка также должна лежать в плоскости основания. А значит, она должна лежать на линии пересечения плоскости $ALM$ с плоскостью основания, то есть на прямой $LM$.

4. Из этого следует, что искомая точка является точкой пересечения прямых $BC$ и $LM$. Обозначим эту точку буквой $P$. Так как обе прямые, $BC$ и $LM$, лежат в одной плоскости $(KLMN)$ и в общем случае не параллельны, они пересекаются в одной точке.

Построение:
В плоскости основания $KLMN$ строим прямую, проходящую через точки $B$ и $C$. Затем строим прямую, проходящую через точки $L$ и $M$. Точка пересечения этих двух прямых $P = BC \cap LM$ и является искомой точкой пересечения прямой $BC$ с плоскостью $ALM$.

Ответ: Искомая точка – это точка пересечения прямых $BC$ и $LM$.

б)

Чтобы построить прямую, по которой пересекаются плоскости $ABC$ и $ALM$, необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Через эти две точки и будет проходить искомая прямая.

План построения:

1. Точка $A$ является вершиной пирамиды и по определению входит в состав обеих плоскостей: $A \in (ABC)$ и $A \in (ALM)$. Следовательно, точка $A$ — это первая общая точка этих плоскостей.

2. Для нахождения второй общей точки рассмотрим пересечение плоскостей $ABC$ и $ALM$ с плоскостью основания $KLMN$.
- Плоскость $ABC$ пересекает плоскость основания по прямой $BC$ (след плоскости $ABC$ на плоскости основания).
- Плоскость $ALM$ пересекает плоскость основания по прямой $LM$ (след плоскости $ALM$ на плоскости основания).

3. Точка пересечения этих следов (прямых $BC$ и $LM$) будет принадлежать обеим плоскостям. Как мы установили в пункте а), это точка $P$.
- Так как $P \in BC$, то точка $P$ принадлежит плоскости $ABC$.
- Так как $P \in LM$, то точка $P$ принадлежит плоскости $ALM$.
Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой плоскостей $ABC$ и $ALM$.

4. Поскольку точки $A$ и $P$ принадлежат обеим плоскостям, то прямая, проходящая через них, является линией их пересечения.

Построение:
Сначала, как в пункте а), находим точку $P$ как точку пересечения прямых $BC$ и $LM$ в плоскости основания. Затем проводим прямую через вершину пирамиды $A$ и точку $P$. Прямая $AP$ и является искомой линией пересечения.

Ответ: Искомая прямая – это прямая $AP$, где $P$ – точка пересечения прямых $BC$ и $LM$.