Номер 53, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

53. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 12 см и образует с основанием угол в $30^{\circ}$. Найдите боковое ребро призмы, учитывая, что её полная поверхность равна $336 \text{ см}^2$.

Пусть основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция, основания которой равны $a$ и $b$, а боковые стороны равны $c$. По условию, боковая сторона $c = 12$ см, а угол, который она образует с основанием, равен $30^\circ$.

1. Найдем характеристики основания (трапеции).

Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы длин ее противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это свойство выглядит так:

$a + b = c + c = 2c$

Подставим известное значение боковой стороны $c=12$ см:

$a + b = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Периметр основания $P_{осн}$ равен сумме длин всех его сторон:

$P_{осн} = (a + b) + (c + c) = 24 + 24 = 48$ см.

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. В образовавшемся прямоугольном треугольнике гипотенузой будет боковая сторона $c=12$ см, а катет, противолежащий углу в $30^\circ$, будет равен высоте $h$.

$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ (площадь трапеции) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S_{осн} = \frac{24}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$ см².

2. Найдем боковое ребро призмы.

Полная поверхность прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту призмы $H$ (которая равна боковому ребру):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Подставим все известные значения в формулу полной поверхности, учитывая, что $S_{полн} = 336$ см²:

$336 = (48 \cdot H) + (2 \cdot 72)$

$336 = 48H + 144$

Теперь решим полученное уравнение относительно $H$:

$48H = 336 - 144$

$48H = 192$

$H = \frac{192}{48}$

$H = 4$ см.

Ответ: 4 см.