Номер 60, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

60*. Диагональ боковой грани прямоугольного параллелепипеда $CDEFC_1D_1E_1F_1$ с квадратным основанием равна 52 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник $CC_1D$, равен 8 см. Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Обозначим сторону квадратного основания прямоугольного параллелепипеда как $a$, а его высоту (длину бокового ребра) как $h$. Тогда боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этой грани, согласно условию, равна $d=52$ см.

В условии упоминается треугольник $CC_1D$. Он образован стороной основания $CD=a$, боковым ребром $CC_1=h$ и диагональю боковой грани $C_1D=d=52$ см. Поскольку параллелепипед прямоугольный, его боковые ребра перпендикулярны основанию, а значит, угол $\angle C_1CD$ является прямым ($\angle C_1CD = 90^\circ$). Таким образом, треугольник $CC_1D$ — прямоугольный, где $a$ и $h$ — катеты, а $d$ — гипотенуза.

Согласно теореме Пифагора для треугольника $CC_1D$:

$a^2 + h^2 = d^2$

$a^2 + h^2 = 52^2 = 2704$

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r$ связан с длинами катетов ($a, h$) и гипотенузы ($d$) формулой $r = \frac{a+h-d}{2}$. По условию задачи $r=8$ см. Подставим известные значения:

$8 = \frac{a+h-52}{2}$

Умножим обе части на 2:

$16 = a+h-52$

Отсюда находим сумму стороны основания и высоты:

$a+h = 16 + 52 = 68$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $a$ и $h$:

$\begin{cases} a+h = 68 \\ a^2+h^2 = 2704 \end{cases}$

Возведем первое уравнение в квадрат: $(a+h)^2 = 68^2$, что дает $a^2 + 2ah + h^2 = 4624$. Зная, что $a^2+h^2=2704$, подставим это значение:

$2704 + 2ah = 4624$

$2ah = 4624 - 2704 = 1920$

$ah = 960$

Теперь система уравнений имеет вид $\begin{cases} a+h = 68 \\ ah = 960 \end{cases}$. Согласно теореме Виета, $a$ и $h$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 68x + 960 = 0$.

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 4624 - 3840 = 784 = 28^2$

$x_1 = \frac{68 + 28}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$x_2 = \frac{68 - 28}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Таким образом, размеры стороны основания и высоты параллелепипеда составляют 20 см и 48 см. В условии задачи не уточняется, какое из этих значений соответствует стороне основания $a$, а какое — высоте $h$. Следовательно, существуют два возможных варианта геометрии параллелепипеда, для каждого из которых нужно рассчитать площадь полной поверхности.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ параллелепипеда с квадратным основанием вычисляется по формуле $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$.

Случай 1: Сторона основания $a = 20$ см, высота $h = 48$ см.

$S_1 = 2 \cdot (20)^2 + 4 \cdot 20 \cdot 48 = 2 \cdot 400 + 80 \cdot 48 = 800 + 3840 = 4640 \text{ см}^2$.

Случай 2: Сторона основания $a = 48$ см, высота $h = 20$ см.

$S_2 = 2 \cdot (48)^2 + 4 \cdot 48 \cdot 20 = 2 \cdot 2304 + 3840 = 4608 + 3840 = 8448 \text{ см}^2$.

Поскольку условие задачи допускает оба варианта, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $4640 \text{ см}^2$ или $8448 \text{ см}^2$.