Номер 59, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

59*. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда $KLMNK_1L_1M_1N_1$ с квадратным основанием равна 2640 мм^2. Найдите рёбра параллелепипеда, учитывая, что радиус окружности, вписанной в треугольник $NKK_1$, равен 5 мм.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $KLMNK_1L_1M_1N_1$, у которого основание $KLMN$ является квадратом. Обозначим сторону основания за $a$, а высоту (боковое ребро) за $h$. Таким образом, $NK = a$ и $KK_1 = h$. Нам нужно найти значения $a$ и $h$.

1. Используем данные о площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота.

Поскольку основание — квадрат со стороной $a$, его периметр равен $P_{осн} = 4a$.

Подставим это в формулу для площади боковой поверхности: $S_{бок} = 4a \cdot h = 4ah$.

По условию $S_{бок} = 2640 \text{ мм}^2$. Следовательно, мы получаем первое уравнение: $4ah = 2640$ $ah = \frac{2640}{4}$ $ah = 660$

2. Используем данные о радиусе вписанной окружности.

Рассмотрим треугольник $NKK_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, его боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. Значит, ребро $KK_1$ перпендикулярно ребру $NK$, лежащему в плоскости основания. Отсюда следует, что угол $\angle NKK_1 = 90^\circ$, и треугольник $NKK_1$ является прямоугольным.

Катеты этого треугольника равны $NK = a$ и $KK_1 = h$.

Гипотенузу $NK_1$ найдем по теореме Пифагора: $NK_1 = \sqrt{NK^2 + KK_1^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: $r = \frac{\text{катет}_1 + \text{катет}_2 - \text{гипотенуза}}{2}$

Подставим наши значения и данный радиус $r = 5$ мм: $5 = \frac{a + h - \sqrt{a^2 + h^2}}{2}$

Умножим обе части на 2 и выразим гипотенузу: $10 = a + h - \sqrt{a^2 + h^2}$ $\sqrt{a^2 + h^2} = a + h - 10$

3. Решаем систему уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $ah = 660$
2) $\sqrt{a^2 + h^2} = a + h - 10$

Возведём второе уравнение в квадрат: $(\sqrt{a^2 + h^2})^2 = (a + h - 10)^2$ $a^2 + h^2 = (a+h)^2 - 2 \cdot 10 \cdot (a+h) + 10^2$ $a^2 + h^2 = a^2 + 2ah + h^2 - 20(a+h) + 100$

Сократим $a^2$ и $h^2$ в обеих частях: $0 = 2ah - 20(a+h) + 100$

Перенесём слагаемое с $(a+h)$ влево: $20(a+h) = 2ah + 100$

Разделим обе части на 20: $a+h = \frac{2ah}{20} + \frac{100}{20}$ $a+h = \frac{ah}{10} + 5$

Теперь подставим в это уравнение значение $ah = 660$ из первого уравнения системы: $a+h = \frac{660}{10} + 5$ $a+h = 66 + 5$ $a+h = 71$

Теперь у нас есть более простая система уравнений:
1) $a+h = 71$
2) $ah = 660$

Согласно теореме Виета, $a$ и $h$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+h)t + ah = 0$. $t^2 - 71t + 660 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-71)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 660 = 5041 - 2640 = 2401$

$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$

Найдём корни уравнения: $t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{71 - 49}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{71 + 49}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Корни уравнения — это и есть искомые длины рёбер $a$ и $h$. Таким образом, возможны два варианта:

• Сторона основания $a = 11$ мм, а высота $h = 60$ мм.
• Сторона основания $a = 60$ мм, а высота $h = 11$ мм.

В обоих случаях рёбра параллелепипеда имеют длины 11 мм и 60 мм.

Ответ: рёбра параллелепипеда равны 11 мм и 60 мм.