Номер 4, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Правда ли, что сечением пятиугольной пирамиды может быть:

а) точка;

б) отрезок;

в) четырёхугольник;

г) шестиугольник;

д) семиугольник?

а) точка;

Да, сечением пятиугольной пирамиды может быть точка. Это происходит в том случае, когда секущая плоскость имеет с пирамидой только одну общую точку. Такая ситуация возможна, если плоскость проходит через вершину пирамиды, но не пересекает ни одного ребра или грани, кроме этой вершины. Например, плоскость, касающаяся пирамиды в её вершине. В этом случае пересечением (сечением) будет являться одна единственная точка — вершина пирамиды.

Ответ: Да.

б) отрезок;

Да, сечением пятиугольной пирамиды может быть отрезок. Это вырожденный случай многоугольника. Такой случай имеет место, если секущая плоскость проходит через одно из рёбер пирамиды (боковое ребро или ребро основания) и не пересекает внутреннюю часть пирамиды. Например, если плоскость содержит боковое ребро и расположена так, что все остальные точки пирамиды лежат по одну сторону от этой плоскости, то их пересечением будет только это боковое ребро.

Ответ: Да.

в) четырёхугольник;

Да, сечением пятиугольной пирамиды может быть четырёхугольник. Чтобы в сечении получился многоугольник с $n$ сторонами, секущая плоскость должна пересечь $n$ граней пирамиды. У пятиугольной пирамиды 6 граней (1 основание и 5 боковых). Чтобы получить четырёхугольник, плоскость должна пересечь 4 грани. Например, можно провести плоскость так, чтобы она пересекла четыре боковые грани, не затрагивая основание. Или другой пример: плоскость пересекает основание пирамиды и три смежные боковые грани. В обоих случаях в сечении образуется четырёхугольник.

Ответ: Да.

г) шестиугольник;

Да, сечением пятиугольной пирамиды может быть шестиугольник. Максимальное количество сторон многоугольника, который может получиться в сечении многогранника, равно количеству граней этого многогранника. Пятиугольная пирамида имеет 6 граней: одно пятиугольное основание и пять треугольных боковых граней. Следовательно, в сечении может получиться шестиугольник. Для этого секущая плоскость должна пересечь все 6 граней пирамиды. Такое сечение можно получить, если провести плоскость, которая пересекает основание пирамиды, а затем последовательно все пять её боковых граней.

Ответ: Да.

д) семиугольник?

Нет, сечением пятиугольной пирамиды не может быть семиугольник. Сечение многогранника плоскостью представляет собой многоугольник, стороны которого являются отрезками, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника. Количество сторон в многоугольнике сечения не может превышать количество граней исходного многогранника. Поскольку у пятиугольной пирамиды всего 6 граней, максимальное число сторон у многоугольника в сечении равно 6. Семиугольник имеет 7 сторон, поэтому его невозможно получить в качестве сечения пятиугольной пирамиды.

Ответ: Нет.