Номер 62, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

62. Изобразите куб $STRUS_1T_1R_1U_1$ и отметьте точки $B$ и $C$ на рёбрах $SU$ и $RU$. Постройте сечение куба плоскостью $BCT_1$.

Изображение куба $STRUS₁T₁R₁U₁$ и отмеченные точки $B$ и $C$

Построим куб $STRUS₁T₁R₁U₁$. Нижнее основание – квадрат $STRU$, верхнее – $S₁T₁R₁U₁$. Вертикальные рёбра – $SS₁$, $TT₁$, $RR₁$, $UU₁$. На рёбрах нижнего основания отметим точки в соответствии с условием:

• Точка $B$ принадлежит ребру $SU$ ($B \in SU$).
• Точка $C$ принадлежит ребру $RU$ ($C \in RU$).

Секущая плоскость задана тремя точками: $B$, $C$ и $T₁$.

Ответ: Изображен куб $STRUS₁T₁R₁U₁$ с отмеченными точками $B$ на ребре $SU$ и $C$ на ребре $RU$.

Построение сечения куба плоскостью $BCT₁$

Для построения сечения найдем линии пересечения (следы) секущей плоскости $(BCT₁)$ с гранями куба.

1. Точки $B$ и $C$ лежат в одной плоскости нижнего основания $(STRU)$. Следовательно, отрезок $BC$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $STRU$. Это первая сторона многоугольника сечения.
2. Для нахождения следующих точек сечения воспользуемся методом следов. Продлим прямую $BC$ в плоскости основания. Также продлим рёбра $ST$ и $TR$, лежащие в той же плоскости.
   • Прямая $BC$ пересечет продолжение прямой $ST$ в некоторой точке $X$. Точка $X$ принадлежит секущей плоскости $(BCT₁)$ и плоскости передней грани $(STT₁S₁)$.
   • Прямая $BC$ пересечет продолжение прямой $TR$ в некоторой точке $Y$. Точка $Y$ принадлежит секущей плоскости $(BCT₁)$ и плоскости правой грани $(TRRT₁)$.
3. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие плоскости передней грани $(STT₁S₁)$ и секущей плоскости – это точка $X$ и вершина $T₁$. Проведем через них прямую $XT₁$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости передней грани. Прямая $XT₁$ пересечет ребро $SS₁$ в некоторой точке $E$. Отрезок $ET₁$ – сторона сечения.
4. Аналогично, в плоскости правой грани $(TRRT₁)$ лежат точки $Y$ и $T₁$, принадлежащие секущей плоскости. Проведем прямую $YT₁$. Она пересечет ребро $RR₁$ в некоторой точке $F$. Отрезок $FT₁$ – сторона сечения.
5. Мы получили новые точки сечения $E$ на ребре $SS₁$ и $F$ на ребре $RR₁$. Теперь соединим полученные точки, лежащие на одних гранях:
   • Точки $E$ и $B$ лежат на левой грани $SUU₁S₁$. Соединяем их, получаем сторону сечения $EB$.
   • Точки $F$ и $C$ лежат на задней грани $RUU₁R₁$. Соединяем их, получаем сторону сечения $FC$.
6. Все точки соединены. Мы получили замкнутый многоугольник $BCFT₁E$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $BCFT₁E$.