пространственное моделирование, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Пространственное моделирование

Ответьте, какая — плоская или пространственная — фигура изображена на рисунке: а) 102; б) 103; в) 104.

На рисунке 104 изображена поверхность, которую называют лентой Мёбиуса, или листом Мёбиуса. Её открыли независимо друг от друга в 1858 году немецкие математики Август Мёбиус и Иоганн Листинг. До этого считалось, что любая поверхность имеет две стороны, которые можно окрасить в разный цвет.

Рис. 102

Рис. 103

Рис. 104

Лента Мёбиуса имеет одну сторону и один край. В этом легко убедиться. Возьмём прямоугольную ленту $ABCD$ и склеим её так, чтобы точка $A$ совпала с точкой $C$, а точка $B$ — с точкой $D$. Сделайте это сами и попробуйте покрасить полученную ленту, не переходя через её край. Какой результат у вас получился?

Какая поверхность получится, если лист Мёбиуса разрезать по его средней линиии? Попробуйте окрасить эту поверхность. Что получилось? А что будет, если лист Мёбиуса разрезать, отступив от его края на третью часть ширины?

Памятный знак «Лист Мёбиуса» (рис. 105) был установлен 22 января 2009 года к 80-летию Национальной академии наук Беларуси.

Свойства ленты Мёбиуса нашли практическое применение и в промышленности. В виде ленты Мёбиуса изготавливают шлифовальные ленты, красящую ленту матричных принтеров, полосу ленточного конвейера, что позволяет увеличить срок службы, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Ленту Мёбиуса применяют в системах записи на непрерывную плёнку, чтобы удвоить время записи.

Рис. 105

а) 102;

На рисунке 102 изображен тетраэдр. Тетраэдр — это многогранник, объемное геометрическое тело, которое существует в трехмерном пространстве. Следовательно, это пространственная фигура.

Ответ: пространственная фигура.

б) 103;

На рисунке 103 изображен многогранник (треугольная призма). Как и тетраэдр, это объемная фигура, которая не может быть целиком расположена в одной плоскости. Это пространственная фигура.

Ответ: пространственная фигура.

в) 104.

На рисунке 104 изображена лента Мёбиуса. Это так называемая односторонняя поверхность. Для её существования необходимо трехмерное пространство, в двумерной плоскости её можно изобразить лишь с самопересечениями, что нарушает её топологию. Таким образом, это пространственная фигура.

Ответ: пространственная фигура.

Какой результат у вас получится? (при покраске ленты Мёбиуса, склеенной из ленты ABCD)

Лента Мёбиуса, которая получается при склеивании концов прямоугольной полосы после её перекручивания на $180^\circ$, является классическим примером односторонней поверхности. Если начать закрашивать такую ленту с любой точки, двигаясь вдоль неё и не пересекая край, то в конечном итоге будет закрашена вся её поверхность. Это происходит потому, что у ленты нет разделения на "внешнюю" и "внутреннюю" стороны — у неё всего одна сторона.

Ответ: вся лента Мёбиуса будет закрашена одним цветом, так как у нее только одна сторона.

Какая поверхность получится, если лист Мёбиуса разрезать по его средней линии? Попробуйте окрасить эту поверхность. Что получилось?

Если разрезать ленту Мёбиуса точно посередине, вдоль всей её длины, то, вопреки ожиданиям, она не распадется на две части. Вместо этого она превратится в одну, но более длинную и узкую ленту. Эта новая лента будет вдвое длиннее и вдвое уже исходной. Важным отличием будет то, что полученная лента уже не является односторонней — она будет иметь две стороны и два полных перекручивания (на $720^\circ$). Если попробовать окрасить эту новую ленту, то можно будет покрасить одну её сторону в один цвет, а другую — в другой. Начав красить с одной точки, вы закрасите лишь одну из двух сторон, то есть половину общей площади поверхности.

Ответ: получится одна двусторонняя лента, вдвое длиннее и вдвое уже исходной, с двумя полными перекручиваниями ($720^\circ$).

А что будет, если лист Мёбиуса разрезать, отступив от его края на третью часть ширины?

Разрезание ленты Мёбиуса на расстоянии в одну треть ширины от края приводит к еще более неожиданному результату. После такого разреза получаются два сцепленных друг с другом, но не одинаковых кольца. Первое кольцо, которое является центральной третью исходной ленты, само оказывается лентой Мёбиуса, такой же длины, как и исходная, но втрое уже. Второе кольцо, образованное двумя крайними третями, представляет собой двустороннюю ленту, которая в два раза длиннее исходной и имеет два полных перекручивания (на $720^\circ$).

Ответ: получатся две сцепленные ленты: одна — лента Мёбиуса, равная по длине исходной, и вторая — двусторонняя лента, вдвое длиннее исходной.