Номер 24, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

24. Сколько разных прямых могут определять четыре разные точки?

Количество различных прямых, которые можно провести через четыре разные точки, зависит от их взаимного расположения. Согласно основной аксиоме планиметрии, через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Никакие три точки не лежат на одной прямой

В этом случае точки находятся в так называемом общем положении. Любая пара из четырех точек будет определять уникальную прямую. Задача сводится к нахождению числа всех возможных пар точек, что является задачей на нахождение числа сочетаний из 4-х элементов по 2. Для этого используется формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n=4$ – общее количество точек, а $k=2$ – количество точек, необходимых для определения прямой. Подставим наши значения:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \cdot (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, в данном случае можно провести 6 различных прямых.

Ответ: 6 прямых.

Случай 2: Ровно три точки из четырех лежат на одной прямой

Пусть три точки (A, B, C) лежат на одной прямой L1, а четвертая точка (D) не лежит на этой прямой.

1. Три коллинеарные точки (A, B, C) все вместе определяют только одну прямую L1.

2. Четвертая точка D вместе с каждой из трех коллинеарных точек образует по одной новой прямой: DA, DB и DC. Поскольку точки A, B, C лежат на одной прямой, а D — нет, то все эти три прямые будут различными между собой и отличными от прямой L1.

Следовательно, общее количество прямых равно $1 + 3 = 4$.

Ответ: 4 прямые.

Случай 3: Все четыре точки лежат на одной прямой

Если все четыре точки коллинеарны, то есть расположены на одной и той же прямой, то сколько бы пар мы ни выбирали, все они будут лежать на этой единственной прямой. Таким образом, они определяют только одну прямую.

Ответ: 1 прямая.

Итого, в зависимости от взаимного расположения, четыре различные точки могут определять 1, 4 или 6 различных прямых.