Номер 7, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Как могут располагаться в пространстве две плоскости?

В трехмерном пространстве для двух плоскостей, обозначим их $\alpha$ и $\beta$, существует три возможных варианта взаимного расположения. Эти варианты полностью описывают все возможные случаи и определяются количеством общих точек у этих плоскостей.

1. Плоскости пересекаются

Две плоскости пересекаются, если они имеют общие точки, но при этом не совпадают. Множество их общих точек образует прямую линию, которую называют линией пересечения плоскостей. Это происходит в том случае, когда их нормальные векторы (векторы, перпендикулярные к плоскостям) не коллинеарны, то есть не параллельны друг другу.
Если плоскости заданы общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, то их нормальные векторы имеют координаты $\vec{n_1} = \{A_1, B_1, C_1\}$ и $\vec{n_2} = \{A_2, B_2, C_2\}$. Условием пересечения является неколлинеарность векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$, что аналитически означает, что их соответствующие координаты не пропорциональны, то есть соотношение $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ не выполняется.
Ответ: Две плоскости могут пересекаться по прямой линии.

2. Плоскости параллельны

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Это означает, что как бы далеко мы их ни продолжали в пространстве, они никогда не встретятся. Расстояние между любой точкой одной плоскости и другой плоскостью всегда постоянно.
Условием параллельности двух плоскостей является коллинеарность их нормальных векторов, при условии, что сами плоскости не совпадают. Для плоскостей, заданных общими уравнениями, это означает, что коэффициенты при переменных в их уравнениях пропорциональны, но эта пропорция не сохраняется для свободных членов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$.
Ответ: Две плоскости могут быть параллельны, то есть не иметь общих точек.

3. Плоскости совпадают

Две плоскости совпадают, если все точки одной плоскости одновременно принадлежат и другой плоскости. В этом случае говорят, что плоскости имеют бесконечное множество общих точек. По сути, это одна и та же плоскость, которая может быть задана разными, но эквивалентными уравнениями.
Это происходит, когда одно уравнение плоскости может быть получено из другого умножением на ненулевое число. Аналитически это выражается в пропорциональности всех коэффициентов уравнений, включая свободные члены: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$.
Ответ: Две плоскости могут совпадать.