пространственное моделирование, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Пространственное моделирование

1. Сделайте выкройку поверхности куба с ребром 5 см, предусмотрев полоски для склеивания (рис. 49), и склейте сам куб.

2. Какие из фигур, показанных на рисунке 50, являются развёртками куба?

3. Сделайте выкройку поверхности прямой призмы с боковым ребром 5 см, в основании которой находится трапеция со сторонами 6 см, 3 см, 3 см, 3 см, и склейте саму призму.

Рис. 49

а) б) в) г) д)

Рис. 50

4. Сделайте выкройку поверхности правильной четырёхугольной пирамиды (рис. 51), сторона основания которой равна 5 см, а боковое ребро — 7 см, и склейте саму пирамиду.

Рис. 51

Рис. 52

5. Сделайте выкройку поверхности пирамиды, стороны основания которой равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковые рёбра — 7 см каждое, и склейте саму пирамиду.

6. Знак нулевого километра Беларуси установлен на Октябрьской площади столицы (рис. 52). Его моделью является правильная четырёхугольная пирамида, у которой соседние боковые рёбра взаимно перпендикулярны, а сторона основания равна 1 м 40 см. Какое количество материала потребуется для облицовки боковой поверхности пирамиды?

7. Может ли быть развёрткой пирамиды:

а) шестиугольник;

б) прямоугольник;

в) ромб;

г) треугольник?

1. Для изготовления выкройки куба с ребром 5 см необходимо начертить на листе бумаги развёртку его поверхности. Классическая развёртка куба представляет собой фигуру из шести одинаковых квадратов, соединённых сторонами. Пример такой развёртки показан на рисунке 49.

Порядок действий:

1. Начертите шесть квадратов со стороной 5 см. Расположите их так, как показано на рисунке 49: четыре квадрата в один ряд (образуя прямоугольник 20 см × 5 см) и по одному квадрату сверху и снизу от одного из центральных квадратов.
2. К некоторым внешним сторонам квадратов пририсуйте небольшие трапециевидные или прямоугольные полоски (клапаны) для склеивания. Эти клапаны понадобятся, чтобы соединить грани при сборке.
3. Вырежьте получившуюся фигуру по внешнему контуру, включая клапаны.
4. Согните выкройку по всем начерченным линиям.
5. Нанесите клей на клапаны и соберите куб, приклеивая клапаны к внутренним сторонам соседних граней.

Ответ: Чтобы сделать выкройку, нужно начертить 6 квадратов со стороной 5 см в виде крестообразной фигуры (как на рис. 49), добавить клапаны для склейки, вырезать и согнуть по линиям.

2. Развёртка куба — это плоская фигура, состоящая из шести квадратов, которую можно сложить, чтобы получить куб. Куб имеет 6 граней, поэтому его развёртка должна состоять ровно из 6 квадратов.

Рассмотрим фигуры, показанные на рисунке 50. Если внимательно посчитать, каждая из фигур (а, б, в, г, д) состоит из 5 квадратов. Такие фигуры называются пентамино.

Поскольку для создания куба необходимо 6 граней-квадратов, ни одна из представленных фигур, состоящая из 5 квадратов, не может являться развёрткой куба.

Ответ: Ни одна из фигур, показанных на рисунке 50, не является развёрткой куба, так как все они состоят из 5 квадратов, а у куба 6 граней.

3. Требуется сделать выкройку прямой призмы. Основанием призмы является равнобокая трапеция со сторонами 6 см, 3 см, 3 см, 3 см. Боковое ребро (высота призмы) равно 5 см.

Развёртка призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.

1. Основания: Два одинаковых основания в виде равнобокой трапеции. Из набора сторон 6, 3, 3, 3 следует, что параллельные стороны (основания трапеции) равны 6 см и 3 см, а боковые стороны равны 3 см.
2. Боковая поверхность: При разворачивании боковая поверхность прямой призмы представляет собой прямоугольник. Высота этого прямоугольника равна высоте призмы (5 см), а его длина равна периметру основания. Периметр основания $P = 6 + 3 + 3 + 3 = 15$ см. Таким образом, боковая поверхность — это прямоугольник размером 15 см × 5 см.

Для создания выкройки:

1. Начертите прямоугольник размером 15 см × 5 см.
2. Разделите его на четыре меньших прямоугольника, проведя линии, параллельные стороне 5 см. Ширины этих прямоугольников будут соответствовать сторонам трапеции: 6 см, 3 см, 3 см, 3 см.
3. К одной из сторон длиной 15 см (например, к отрезку, соответствующему стороне 6 см) пристройте трапецию-основание.
4. Ко второй стороне длиной 15 см симметрично пристройте вторую трапецию-основание.
5. Добавьте клапаны для склейки, вырежьте и соберите призму.

Ответ: Выкройка состоит из прямоугольника 15×5 см (боковая поверхность), разделенного на четыре полосы шириной 6, 3, 3, 3 см, и двух равнобоких трапеций (основания с параллельными сторонами 6 и 3 см и боковыми сторонами 3 см), пристроенных к соответствующим сторонам боковой поверхности.

4. Требуется сделать выкройку правильной четырёхугольной пирамиды. Сторона основания равна 5 см, а боковое ребро — 7 см.

Развёртка такой пирамиды состоит из основания и четырёх боковых граней.

1. Основание: Так как пирамида правильная четырёхугольная, её основание — это квадрат со стороной 5 см.
2. Боковые грани: Четыре одинаковых равнобедренных треугольника. Основание каждого треугольника равно стороне квадрата (5 см), а боковые стороны равны боковому ребру пирамиды (7 см).

Для создания выкройки (как на рис. 51):

1. Начертите квадрат со стороной 5 см.
2. К каждой стороне квадрата пристройте равнобедренный треугольник с основанием 5 см и боковыми сторонами по 7 см. Для построения треугольника используйте циркуль: из каждой вершины стороны квадрата проведите дугу радиусом 7 см. Точка пересечения дуг будет вершиной треугольника.
3. Добавьте клапаны для склейки к свободным сторонам треугольников, вырежьте и соберите пирамиду.

Ответ: Выкройка состоит из одного квадрата со стороной 5 см и четырёх равнобедренных треугольников со сторонами 5 см, 7 см, 7 см, пристроенных к сторонам квадрата.

5. Требуется сделать выкройку пирамиды, у которой стороны основания равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковые рёбра — по 7 см каждое.

Развёртка этой пирамиды состоит из основания и трёх боковых граней.

1. Основание: Треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см.
2. Боковые грани: Три треугольника, каждый из которых имеет одну сторону, совпадающую со стороной основания, и две другие стороны, равные боковому ребру (7 см).
   • Первая боковая грань: равнобедренный треугольник со сторонами 7 см, 7 см и 4 см.
   • Вторая боковая грань: равнобедренный треугольник со сторонами 7 см, 7 см и 5 см.
   • Третья боковая грань: равносторонний треугольник со сторонами 7 см, 7 см и 7 см.

Для создания выкройки:

1. Начертите базовый треугольник со сторонами 4 см, 5 см, 7 см (с помощью циркуля и линейки).
2. К стороне длиной 4 см пристройте равнобедренный треугольник со сторонами 7 см.
3. К стороне длиной 5 см пристройте равнобедренный треугольник со сторонами 7 см.
4. К стороне длиной 7 см пристройте равносторонний треугольник со стороной 7 см.
5. Добавьте клапаны, вырежьте и соберите пирамиду.

Ответ: Выкройка состоит из базового треугольника (стороны 4, 5, 7 см) и трёх треугольников, пристроенных к его сторонам: равнобедренного (стороны 4, 7, 7 см), равнобедренного (стороны 5, 7, 7 см) и равностороннего (стороны 7, 7, 7 см).

6. Знак нулевого километра — это правильная четырёхугольная пирамида. Её основание — квадрат со стороной $a = 1 \text{ м } 40 \text{ см} = 1.4 \text{ м}$. Соседние боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Это означает, что боковые грани представляют собой равнобедренные прямоугольные треугольники.

Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды, то есть суммарную площадь четырёх боковых граней.

Пусть $l$ — длина бокового ребра. Боковая грань — это прямоугольный треугольник, катеты которого равны $l$, а гипотенуза равна стороне основания $a$.

По теореме Пифагора для боковой грани:

$l^2 + l^2 = a^2$

$2l^2 = a^2$

Площадь одной боковой грани $S_{грани}$ (как площадь прямоугольного треугольника) равна половине произведения его катетов:

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{1}{2}l^2$

Боковая поверхность состоит из четырёх таких одинаковых граней, поэтому её площадь $S_{бок}$ равна:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{1}{2}l^2 = 2l^2$

Так как мы нашли, что $2l^2 = a^2$, то

$S_{бок} = a^2$

Подставим значение стороны основания $a = 1.4$ м:

$S_{бок} = (1.4)^2 = 1.96 \text{ м}^2$

Ответ: Для облицовки боковой поверхности потребуется 1.96 м² материала.

7. Развёртка пирамиды — это плоская фигура (многоугольник), из которой можно сложить поверхность пирамиды без разрезов и наложений. Она состоит из многоугольника-основания и треугольников-боковых граней.

а) шестиугольник: Да, может. Например, развёртка треугольной пирамиды (тетраэдра) состоит из 4 треугольников. Их можно расположить так, что внешняя граница фигуры будет являться шестиугольником (как правило, невыпуклым).

б) прямоугольник: Нет, не может. Развёртка пирамиды состоит из основания и боковых граней-треугольников. При любом способе их соединения в одну плоскую фигуру невозможно получить на внешнем контуре четыре прямых угла, образующих прямоугольник.

в) ромб: Да, может. Развёртка определённой квадратной пирамиды (у которой боковые грани — равные между собой равнобедренные прямоугольные треугольники) может иметь форму квадрата. Такая развёртка состоит только из четырёх треугольных боковых граней, которые соединяются в центре. Этот центр становится вершиной пирамиды, а внешний контур — основанием. Так как квадрат является частным случаем ромба, то ответ — да.

г) треугольник: Да, может. Классический пример — развёртка правильного тетраэдра (пирамиды, у которой все грани — равносторонние треугольники). Его развёртка может иметь форму большого равностороннего треугольника, состоящего из четырёх меньших (один — основание, три — боковые грани).

Ответ:
а) шестиугольник - да;
б) прямоугольник - нет;
в) ромб - да;
г) треугольник - да.