Номер 19, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

19*. Основанием пирамиды $PMNUV$ является квадрат $MNUV$ (рис. 48). Боковое ребро $PN$ перпендикулярно каждой прямой плоскости основания, проходящей через точку $N$, углы $M$ и $U$ граней $PMV$ и $PUV$ прямые, а углы $M$ и $U$ граней $PMN$ и $PUN$ равны $45^\circ$ каждый. Наибольшее боковое ребро равно 24 см. Найдите:

a) другие боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Рис. 48

По условию задачи основанием пирамиды $PMNUV$ является квадрат $MNUV$. Боковое ребро $PN$ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, $PN$ является высотой пирамиды. Это означает, что $PN \perp NM$ и $PN \perp NU$. Таким образом, треугольники $\triangle PNM$ и $\triangle PNU$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $N$.

В прямоугольном $\triangle PNM$ дан угол $\angle PMN = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle MPN = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle PNM$ является равнобедренным, и $PN = NM$.

Аналогично, в прямоугольном $\triangle PNU$ дан угол $\angle PUN = 45^\circ$. Отсюда следует, что $\angle UPN = 45^\circ$, и $\triangle PNU$ также является равнобедренным, т.е. $PN = NU$.

Так как $MNUV$ — квадрат, то его стороны равны: $NM = NU = UV = VM$. Обозначим длину стороны квадрата через $a$. Тогда из равнобедренных треугольников мы получаем, что высота пирамиды $PN = a$.

Теперь найдем длины боковых ребер, выраженные через $a$:

• $PN = a$
• В прямоугольном $\triangle PNM$ по теореме Пифагора: $PM^2 = PN^2 + NM^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Следовательно, $PM = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
• Аналогично, в $\triangle PNU$: $PU^2 = PN^2 + NU^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Следовательно, $PU = a\sqrt{2}$.
• Для нахождения ребра $PV$ рассмотрим прямоугольный $\triangle PNV$ (так как $PN \perp$ плоскости основания, то $PN \perp NV$). Катет $NV$ является диагональю квадрата $MNUV$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Итак, $NV = a\sqrt{2}$. По теореме Пифагора для $\triangle PNV$: $PV^2 = PN^2 + NV^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$. Следовательно, $PV = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Сравним длины боковых ребер: $PN=a$, $PM=a\sqrt{2}$, $PU=a\sqrt{2}$ и $PV=a\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} > \sqrt{2} > 1$, самым длинным боковым ребром является $PV$.

По условию, наибольшее боковое ребро равно 24 см. Значит, $PV = 24$ см. $a\sqrt{3} = 24 \implies a = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

а) другие боковые рёбра пирамиды;

Теперь, зная значение $a$, мы можем найти длины остальных боковых ребер:

• $PN = a = 8\sqrt{3}$ см.
• $PM = PU = a\sqrt{2} = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{6}$ см.

Ответ: $PN = 8\sqrt{3}$ см, $PM = 8\sqrt{6}$ см, $PU = 8\sqrt{6}$ см.

б) боковую поверхность пирамиды;

Боковая поверхность $S_{бок}$ состоит из суммы площадей четырех треугольников: $\triangle PMN$, $\triangle PNU$, $\triangle PUV$ и $\triangle PMV$.

• $\triangle PMN$ и $\triangle PNU$ — равные прямоугольные треугольники. Их площадь:
  $S_{\triangle PMN} = S_{\triangle PNU} = \frac{1}{2} PN \cdot NM = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
• По условию углы $M$ и $U$ граней $PMV$ и $PUV$ прямые, то есть $\angle PMV = 90^\circ$ и $\angle PUV = 90^\circ$. Значит, $\triangle PMV$ и $\triangle PUV$ — прямоугольные треугольники. Их площади:
  $S_{\triangle PMV} = \frac{1}{2} PM \cdot MV = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.
  $S_{\triangle PUV} = \frac{1}{2} PU \cdot UV = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) \cdot a = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Найдем $a^2$: $a^2 = (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$ см$^2$.
$S_{бок} = S_{\triangle PMN} + S_{\triangle PNU} + S_{\triangle PMV} + S_{\triangle PUV} = 2 \cdot (\frac{1}{2} a^2) + 2 \cdot (\frac{a^2\sqrt{2}}{2}) = a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(1+\sqrt{2})$.
$S_{бок} = 192(1+\sqrt{2})$ см$^2$.
Ответ: $192(1+\sqrt{2})$ см$^2$.

в) полную поверхность пирамиды.

Полная поверхность пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и площади основания.
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.
Площадь основания (квадрата $MNUV$): $S_{осн} = a^2 = 192$ см$^2$.
$S_{полн} = 192(1+\sqrt{2}) + 192 = 192 + 192\sqrt{2} + 192 = 384 + 192\sqrt{2} = 192(2+\sqrt{2})$ см$^2$.
Ответ: $192(2+\sqrt{2})$ см$^2$.