Номер 16, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. Основанием пирамиды $QABCD$ является ромб $ABCD$ со стороной, равной 10 см, одна из диагоналей которого равна 16 см. Отрезок, соединяющий вершину $Q$ пирамиды с точкой $O$ пересечения диагоналей основания, перпендикулярен этим диагоналям и равен 14 см (рис. 47). Найдите:

а) боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды.

Рис. 47

По условию задачи, основанием пирамиды $QABCD$ является ромб $ABCD$ со стороной $a = 10$ см и одной из диагоналей $d_1 = 16$ см. Отрезок $QO$, соединяющий вершину пирамиды $Q$ с точкой пересечения диагоналей ромба $O$, перпендикулярен диагоналям, а значит, и всей плоскости основания. Следовательно, $QO$ — высота пирамиды, и ее длина $H = QO = 14$ см.

1. Найдём вторую диагональ ромба.
Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Пусть диагональ $AC = 16$ см. Тогда её половина $AO = OC = AC/2 = 16/2 = 8$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ( $\angle AOB = 90^\circ$ ). Катет $AO = 8$ см, гипотенуза $AB = 10$ см (сторона ромба). По теореме Пифагора найдём катет $BO$:
$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.
Вторая диагональ ромба $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12$ см. Её половина $BO = OD = 6$ см.

2. Найдём длины боковых рёбер.
Поскольку высота пирамиды $QO$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна любому отрезку в этой плоскости, проходящему через точку $O$. Таким образом, треугольники $QOA, QOB, QOC, QOD$ являются прямоугольными.
Боковые рёбра $QA, QB, QC, QD$ являются гипотенузами в этих треугольниках.

• Из прямоугольного треугольника $QOA$ по теореме Пифагора: $QA^2 = QO^2 + AO^2 = 14^2 + 8^2 = 196 + 64 = 260$.
  $QA = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}$ см.
  Поскольку $AO = OC$, то боковое ребро $QC$ равно $QA$: $QC = 2\sqrt{65}$ см.
• Из прямоугольного треугольника $QOB$ по теореме Пифагора: $QB^2 = QO^2 + BO^2 = 14^2 + 6^2 = 196 + 36 = 232$.
  $QB = \sqrt{232} = \sqrt{4 \cdot 58} = 2\sqrt{58}$ см.
  Поскольку $BO = OD$, то боковое ребро $QD$ равно $QB$: $QD = 2\sqrt{58}$ см.

Ответ: Боковые рёбра пирамиды равны $QA = QC = 2\sqrt{65}$ см и $QB = QD = 2\sqrt{58}$ см.

1. Найдём апофему.
Боковая поверхность пирамиды состоит из четырёх треугольных граней: $QAB, QBC, QCD, QDA$. Для нахождения их площади нужно найти высоту каждой грани, проведённую из вершины $Q$ (апофему).
Так как вершина пирамиды $Q$ проецируется в центр вписанной в ромб окружности (точку $O$), то высоты всех боковых граней (апофемы) равны между собой.
Найдём расстояние от центра ромба $O$ до одной из его сторон, например, до стороны $AD$. Опустим перпендикуляр $OH$ на сторону $AD$. $OH$ является высотой в треугольнике $AOD$.
Площадь треугольника $AOD$ можно вычислить как $S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².
С другой стороны, $S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OH$.
$24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot OH \Rightarrow 24 = 5 \cdot OH \Rightarrow OH = \frac{24}{5} = 4.8$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $QOH$, образованный высотой пирамиды $QO$ и отрезком $OH$. Его гипотенуза $QH$ и является апофемой боковой грани. По теореме Пифагора:
$QH^2 = QO^2 + OH^2 = 14^2 + (4.8)^2 = 196 + 23.04 = 219.04$.
$QH = \sqrt{219.04} = 14.8$ см.
Итак, апофема $h_a = 14.8$ см.

2. Найдём площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности можно найти как сумму площадей четырёх боковых граней. Поскольку все стороны основания равны ($a=10$ см) и все апофемы равны ($h_a = 14.8$ см), то площади всех боковых граней одинаковы.
Площадь одной грани: $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14.8 = 5 \cdot 14.8 = 74$ см².
Площадь всей боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 74 = 296$ см².
Можно также использовать формулу $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания. $P = 4 \cdot a = 4 \cdot 10 = 40$ см.
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 14.8 = 20 \cdot 14.8 = 296$ см².

Ответ: 296 см².