Номер 10, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см, 15 см и высотой 12 см. Найдите боковую поверхность призмы, учитывая, что её боковое ребро равно 20 см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
где $P_{осн}$ — это периметр основания, а $h$ — высота призмы, которая для прямой призмы равна её боковому ребру.

1. Найдём периметр основания.
Основанием является равнобедренная трапеция. Её периметр равен сумме длин всех сторон: $P_{осн} = a + b + 2c$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $c$ — длина боковой стороны.
По условию, основания трапеции равны $a = 25$ см и $b = 15$ см, а её высота $h_{трап} = 12$ см.
Чтобы найти длину боковой стороны $c$, опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. Получится прямоугольный треугольник, у которого один катет — это высота трапеции ($h_{трап} = 12$ см), а второй катет — это отрезок на большем основании, длина которого вычисляется как полуразность оснований:
$x = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Боковая сторона $c$ является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:
$c = \sqrt{h_{трап}^2 + x^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.
Теперь можем найти периметр трапеции:
$P_{осн} = a + b + 2c = 25 + 15 + 2 \cdot 13 = 40 + 26 = 66$ см.

2. Найдём площадь боковой поверхности призмы.
Высота призмы $h$ равна её боковому ребру, которое по условию равно 20 см.
Теперь, зная периметр основания и высоту призмы, вычисляем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 66 \cdot 20 = 1320$ см².

Ответ: 1320 см².