Номер 7, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Сторона основания правильной $n$-угольной призмы равна $a$, а её боковое ребро — $h$. Найдите боковую и полную поверхности призмы, учитывая, что:

а) $n = 3, a = 5, h = 10$;

б) $n = 4, a = 10, h = 30$;

в) $n = 6, a = 18, h = 32$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для нахождения площади боковой и полной поверхности правильной n-угольной призмы.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) призмы равна произведению периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$). Для правильной n-угольной призмы основанием является правильный n-угольник со стороной $a$. Периметр такого основания равен $P_{осн} = n \cdot a$.
Таким образом, формула для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = n \cdot a \cdot h$

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) призмы — это сумма площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания ($S_{осн}$).
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Площадь правильного n-угольника ($S_{осн}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$

Теперь решим задачу для каждого из предложенных случаев.

а) Дано: $n = 3$, $a = 5$, $h = 10$.
Призма является правильной треугольной. В её основании лежит равносторонний треугольник.
1. Найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 3 \cdot 5 \cdot 10 = 150$.
2. Найдём площадь основания. Для равностороннего треугольника ($n=3$) со стороной $a$ формула площади:
$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.
3. Найдём площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 150 + 2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} = 150 + \frac{25\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $S_{бок} = 150$; $S_{полн} = 150 + \frac{25\sqrt{3}}{2}$.

б) Дано: $n = 4$, $a = 10$, $h = 30$.
Призма является правильной четырёхугольной. В её основании лежит квадрат.
1. Найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 4 \cdot 10 \cdot 30 = 1200$.
2. Найдём площадь основания. Для квадрата ($n=4$) со стороной $a$ формула площади:
$S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100$.
3. Найдём площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 1200 + 2 \cdot 100 = 1200 + 200 = 1400$.
Ответ: $S_{бок} = 1200$; $S_{полн} = 1400$.

в) Дано: $n = 6$, $a = 18$, $h = 32$.
Призма является правильной шестиугольной. В её основании лежит правильный шестиугольник.
1. Найдём площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 6 \cdot 18 \cdot 32 = 3456$.
2. Найдём площадь основания. Площадь правильного шестиугольника ($n=6$) со стороной $a$ равна площади шести равносторонних треугольников со стороной $a$:
$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 18^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 324 \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 162 \sqrt{3} = 486\sqrt{3}$.
3. Найдём площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 3456 + 2 \cdot 486\sqrt{3} = 3456 + 972\sqrt{3}$.
Ответ: $S_{бок} = 3456$; $S_{полн} = 3456 + 972\sqrt{3}$.