Номер 22, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

22. Существует ли пирамида, которая имеет 11 рёбер? Обоснуйте свой ответ.

Для ответа на этот вопрос проанализируем строение пирамиды. Любая пирамида состоит из многоугольника в основании и треугольных боковых граней, которые соединяют стороны основания с одной общей вершиной (апексом).

Количество рёбер в пирамиде складывается из количества рёбер основания и количества боковых рёбер.

Пусть в основании пирамиды лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). Тогда:

• Количество рёбер в основании равно $n$.
• Из каждой из $n$ вершин основания к апексу идёт одно боковое ребро. Следовательно, количество боковых рёбер также равно $n$.

Таким образом, общее количество рёбер в пирамиде, в основании которой лежит $n$-угольник, можно вычислить по формуле:

Общее число рёбер = (рёбра основания) + (боковые рёбра) = $n + n = 2n$.

Эта формула показывает, что общее количество рёбер в любой пирамиде всегда является произведением числа сторон основания на 2, то есть всегда является чётным числом.

В задаче спрашивается о существовании пирамиды с 11 рёбрами. Число 11 — нечётное.

Если бы такая пирамида существовала, то выполнялось бы равенство:

$2n = 11$

Отсюда $n = \frac{11}{2} = 5.5$.

Однако, число сторон многоугольника в основании ($n$) должно быть целым числом, причём не меньшим трёх ($n \ge 3$). Поскольку $n = 5.5$ не является целым числом, многоугольника с таким количеством сторон не существует. Следовательно, не может существовать и пирамида с 11 рёбрами.

Ответ: не существует, так как общее количество рёбер в любой пирамиде всегда является чётным числом ($2n$), а число 11 — нечётное.