Номер 20, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

20. Верно ли, что:

а) количество вершин любой призмы — число чётное;

б) количество рёбер любой призмы — число, кратное трём?

а) количество вершин любой призмы — число чётное;

Рассмотрим произвольную призму. В её основании лежит многоугольник. Обозначим количество вершин (и сторон) этого многоугольника как $n$, где $n$ — целое число и $n \ge 3$.

У призмы есть два одинаковых основания: нижнее и верхнее. Каждое из них является n-угольником и имеет по $n$ вершин. Все вершины призмы принадлежат её основаниям.

Следовательно, общее количество вершин (В) призмы равно сумме вершин двух её оснований: $В = n + n = 2n$.

Поскольку $n$ является целым числом, то произведение $2n$ по определению является чётным числом. Таким образом, любая призма имеет чётное количество вершин. Утверждение верно.

Ответ: да, верно.

б) количество рёбер любой призмы — число, кратное трём?

Рассмотрим ту же произвольную n-угольную призму. Её рёбра можно разделить на три группы:
1. Рёбра нижнего основания, их количество равно $n$.
2. Рёбра верхнего основания, их количество также равно $n$.
3. Боковые рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований, их количество тоже равно $n$.

Чтобы найти общее количество рёбер (Р) призмы, нужно сложить количество рёбер в каждой группе: $Р = n + n + n = 3n$.

Полученное выражение $3n$ означает, что общее количество рёбер равно количеству сторон основания, умноженному на 3. По определению, число, которое можно представить в виде произведения $3 \cdot k$ (где $k$ — целое число), является кратным трём. В нашем случае $k=n$. Следовательно, количество рёбер любой призмы всегда кратно трём. Утверждение верно.

Ответ: да, верно.