Номер 15, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

15. Сформулируйте свойство боковых рёбер правильной пирамиды; боковых граней правильной пирамиды; апофем правильной пирамиды.

Свойство боковых рёбер правильной пирамиды

По определению, правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника. Пусть $S$ — вершина правильной пирамиды, а $O$ — центр её основания $A_1A_2...A_n$. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды $SO$, боковым ребром (например, $SA_1$) и радиусом описанной около основания окружности ($OA_1$). Такими треугольниками являются $\Delta SOA_1, \Delta SOA_2, ..., \Delta SOA_n$.

В этих треугольниках:

• катет $SO$ является общим (это высота пирамиды);
• катеты $OA_1, OA_2, ..., OA_n$ равны между собой, так как являются радиусами окружности, описанной около правильного многоугольника.

Следовательно, по теореме Пифагора, гипотенузы этих треугольников (которые и являются боковыми рёбрами пирамиды) равны: $SA_i = \sqrt{SO^2 + OA_i^2}$. Так как $SO$ и $OA_i$ постоянны для всех $i$, то все боковые рёбра $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ равны между собой.

Ответ: все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой.

Свойство боковых граней правильной пирамиды

Боковые грани правильной пирамиды — это треугольники, образованные двумя соседними боковыми рёбрами и стороной основания (например, $\Delta SA_1A_2, \Delta SA_2A_3$ и т.д.).

Рассмотрим любую боковую грань, например, $\Delta SA_1A_2$. Её стороны — это боковые рёбра $SA_1$, $SA_2$ и сторона основания $A_1A_2$. Как было доказано выше, все боковые рёбра правильной пирамиды равны, то есть $SA_1 = SA_2$. Это означает, что каждая боковая грань является равнобедренным треугольником.

Теперь сравним две любые боковые грани, например, $\Delta SA_1A_2$ и $\Delta SA_2A_3$.

• Стороны $\Delta SA_1A_2$: $SA_1, SA_2, A_1A_2$.
• Стороны $\Delta SA_2A_3$: $SA_2, SA_3, A_2A_3$.

Из свойства боковых рёбер мы знаем, что $SA_1 = SA_2 = SA_3$. Из определения правильного многоугольника в основании мы знаем, что его стороны равны: $A_1A_2 = A_2A_3$. Таким образом, три стороны треугольника $\Delta SA_1A_2$ соответственно равны трём сторонам треугольника $\Delta SA_2A_3$. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), эти треугольники равны. Это справедливо для всех боковых граней.

Ответ: все боковые грани правильной пирамиды являются равными между собой равнобедренными треугольниками.

Свойство апофем правильной пирамиды

Апофема правильной пирамиды — это высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды.

Способ 1: через равенство боковых граней. Так как все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками (доказано выше), то и их высоты, проведённые из вершины к основанию (апофемы), также равны между собой как соответственные элементы в равных треугольниках.

Способ 2: через теорему Пифагора. Пусть $S$ — вершина, $O$ — центр основания, $SO$ — высота пирамиды. Пусть $M_1, M_2, ...$ — середины сторон основания $A_1A_2, A_2A_3, ...$ соответственно. Тогда апофемы пирамиды — это отрезки $SM_1, SM_2, ...$. Отрезки $OM_1, OM_2, ...$ — это апофемы основания (радиусы вписанной в основание окружности). Для правильного многоугольника все его апофемы равны: $OM_1 = OM_2 = ...$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta SOM_1, \Delta SOM_2, ...$ (они прямоугольные, так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания).

• Катет $SO$ — общий.
• Катеты $OM_1, OM_2, ...$ равны как радиусы вписанной в правильный многоугольник окружности.

По теореме Пифагора, гипотенузы этих треугольников (апофемы пирамиды) равны: $SM_i = \sqrt{SO^2 + OM_i^2}$. Так как правые части этого выражения равны для всех $i$, то и апофемы $SM_1, SM_2, ...$ равны.

Ответ: все апофемы правильной пирамиды равны между собой.