Номер 21, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

21. Найдите количество диагоналей семиугольной призмы.

21.

Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Однако в школьных задачах под диагональю призмы чаще всего понимают отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной плоскости (ни в плоскости основания, ни в плоскости боковой грани). Рассчитаем их количество для семиугольной призмы.

Способ 1: Метод исключения

1. Найдем общее количество вершин призмы. Семиугольная призма имеет два основания, каждое из которых — семиугольник. Следовательно, общее число вершин $V$ равно:$V = 2 \times 7 = 14$

2. Найдем общее количество отрезков, которые можно провести между любыми двумя из 14 вершин. Это число сочетаний из 14 по 2:$C_{14}^2 = \frac{14!}{2!(14-2)!} = \frac{14 \times 13}{2} = 91$Этот 91 отрезок включает в себя ребра, диагонали граней и диагонали самой призмы.

3. Теперь из этого общего числа нужно вычесть все отрезки, которые не являются диагоналями призмы, то есть ребра и диагонали, лежащие на гранях.

• Количество ребер. Призма имеет 7 ребер в верхнем основании, 7 в нижнем и 7 боковых ребер. Всего: $7+7+7 = 21$ ребро.
• Количество диагоналей оснований. Количество диагоналей в n-угольнике находится по формуле $\frac{n(n-3)}{2}$. Для семиугольника ($n=7$) это $\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$. Так как оснований два, то общее число диагоналей оснований: $2 \times 14 = 28$.
• Количество диагоналей боковых граней. У призмы 7 боковых граней, каждая из которых — прямоугольник. Прямоугольник имеет 2 диагонали. Значит, общее число диагоналей боковых граней: $7 \times 2 = 14$.

4. Вычисляем количество диагоналей призмы:(Общее число отрезков) - (Число ребер) - (Число диагоналей оснований) - (Число диагоналей боковых граней) = $91 - 21 - 28 - 14 = 91 - 63 = 28$.

Способ 2: Использование формулы

Существует общая формула для нахождения числа диагоналей в n-угольной призме: $D = n(n-3)$, где $n$ — количество сторон многоугольника в основании.

Для семиугольной призмы $n=7$. Подставляем в формулу:$D = 7 \times (7-3) = 7 \times 4 = 28$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 28