Номер 4, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. На рисунке 44 изображена пятиугольная призма $UVWXYU_1V_1W_1X_1Y_1$ и её диагональ $UX_1$. Назовите другие диагонали этого многогранника.

Рис. 44

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной и той же грани. В данной пятиугольной призме $UVWXYU_1V_1W_1X_1Y_1$ диагонали соединяют вершины одного основания с вершинами другого, за исключением тех пар вершин, которые лежат на одной боковой грани.

В задаче указана диагональ $UX_1$. Чтобы найти остальные диагонали, будем последовательно рассматривать каждую вершину нижнего основания $UVWXY$ и соединять ее с вершинами верхнего основания $U_1V_1W_1X_1Y_1$, которые не лежат с ней в одной боковой грани.

Для вершины $U$ соседними вершинами в основании являются $Y$ и $V$. Значит, отрезки $UU_1$ (боковое ребро), $UY_1$ (диагональ грани $YUU_1Y_1$) и $UV_1$ (диагональ грани $UVV_1U_1$) не являются диагоналями многогранника. Диагоналями многогранника, выходящими из вершины $U$, будут отрезки $UW_1$ и $UX_1$.

Аналогично рассуждая для других вершин нижнего основания, находим остальные диагонали:
- из вершины $V$ выходят диагонали $VX_1$ и $VY_1$;
- из вершины $W$ выходят диагонали $WU_1$ и $WY_1$;
- из вершины $X$ выходят диагонали $XU_1$ и $XV_1$;
- из вершины $Y$ выходят диагонали $YV_1$ и $YW_1$.

Общее число диагоналей в $n$-угольной призме равно $n(n-3)$. Для пятиугольной призмы это $5 \times (5-3) = 10$ диагоналей. Мы нашли все 10: $UX_1$ (дана в условии), $UW_1$, $VX_1$, $VY_1$, $WU_1$, $WY_1$, $XU_1$, $XV_1$, $YV_1$ и $YW_1$.

Исключая данную в условии диагональ $UX_1$, получаем список остальных диагоналей.

Ответ: $UW_1$, $VX_1$, $VY_1$, $WU_1$, $WY_1$, $XU_1$, $XV_1$, $YV_1$, $YW_1$.