Номер 11, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды MABC равна $10\sqrt{3}$ см, а отрезок, соединяющий вершину M пирамиды с центром O основания, — 12 см (рис. 46). Найдите:

а) апофему пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Рис. 46

Дана правильная треугольная пирамида MABC. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник ABC, а вершина M проецируется в центр основания O. Отрезок MO является высотой пирамиды.

По условию задачи имеем:

• Сторона основания a = AB = BC = AC = $10\sqrt{3}$ см.
• Высота пирамиды H = MO = 12 см.

Апофема правильной пирамиды — это высота ее боковой грани. Проведем апофему MK в боковой грани MBC, где K — середина стороны BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MOK (угол MOK = 90°), в котором:

• MO — катет, равный высоте пирамиды (MO = 12 см).
• OK — второй катет.
• MK — гипотенуза, которая является искомой апофемой.

Точка O — центр равностороннего треугольника ABC. Отрезок OK является радиусом вписанной в треугольник ABC окружности. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности находится по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где a — сторона треугольника.

Вычислим длину OK:

$OK = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 5$ см.

Теперь по теореме Пифагора для треугольника MOK найдем апофему MK:

$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где P — периметр основания, а $h_a$ — апофема.

Найдем периметр основания P:

$P = 3 \cdot a = 3 \cdot 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$ см.

Апофему мы нашли в предыдущем пункте: $h_a = MK = 13$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 13 = 15\sqrt{3} \cdot 13 = 195\sqrt{3}$ см².

Ответ: $195\sqrt{3}$ см².

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности нам известна: $S_{бок} = 195\sqrt{3}$ см².

Найдем площадь основания ($S_{осн}$), которым является равносторонний треугольник ABC. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Вычислим площадь основания:

$S_{осн} = \frac{(10\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{300\sqrt{3}}{4} = 75\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 195\sqrt{3} + 75\sqrt{3} = (195 + 75)\sqrt{3} = 270\sqrt{3}$ см².

Ответ: $270\sqrt{3}$ см².